Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2021 · Junio

Enunciado

Ejercicio 3 (bloque A). Considera la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = 4x^{3} - x^{4}

.

a) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

.

b) [1,5 puntos] Esboza la gráfica de

f

y calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica y el eje de abscisas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad f'(x) = 4x^{2}(3-x); \quad \text{creciente en } (-\infty, 3), \; \text{decreciente en } (3, +\infty)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A = \int_{0}^{4}\bigl(4x^{3}-x^{4}\bigr)dx = \frac{256}{5} = 51{,}2 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El apartado a) esconde un detalle que conviene tratar con cuidado: la derivada se factoriza como

4x^{2}(3-x)

, y el factor

x^{2}

se anula en $x = 0$ pero no cambia de signo. Eso significa que

x=0

es un punto crítico que no es extremo: la función sigue creciendo, con tangente horizontal.

Para b), los cortes con el eje

OX

salen de

x^{3}(4-x) = 0

, con

x=0

como raíz triple. Entre

0

4

la función es positiva, así que el recinto es único y el área es una sola integral.

Desarrollo

a) Derivada.

f'(x) = 12x^{2} - 4x^{3} = 4x^{2}\,(3 - x)

Como

4x^{2} \geq 0

siempre, el signo de

f'

lo decide únicamente el factor

(3-x)

Si $x < 3$ : $\;f'(x) \geq 0$ (con $f'(0) = 0$ ), luego $f$ es creciente en $(-\infty, 3)$ .
Si $x > 3$ : $\;f'(x) < 0$ , luego $f$ es decreciente en $(3, +\infty)$ .

x = 3

hay un máximo relativo (y absoluto, por el cambio de monotonía en todo el dominio):

f(3) = 4\cdot 27 - 81 = 108 - 81 = 27

(En $x = 0$ la derivada se anula pero no cambia de signo: es un punto de tangente horizontal que no es extremo. De hecho $f''(x) = 24x - 12x^{2}$ también se anula ahí, y $f'''(0) = 24 \neq 0$ : es un punto de inflexión con tangente horizontal.)

b) Cortes con el eje $OX$ .

4x^{3} - x^{4} = x^{3}\,(4 - x) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0 \;(\text{triple}) \quad \text{o} \quad x = 4

Esbozo. Es una cuártica con coeficiente principal negativo, así que

f \to -\infty

en los dos extremos. Viene subiendo desde

-\infty

, pasa por el origen con tangente horizontal (inflexión), sigue subiendo hasta el máximo

(3, 27)

y baja cortando el eje en

x = 4

. El único recinto cerrado con el eje

OX

es el del intervalo

[0, 4]

.

Signo en el recinto. Para

x \in (0,4)

se tiene

x^{3} > 0

4 - x > 0

, luego

f(x) > 0

: la gráfica está por encima del eje y el área es directamente la integral.

Área.

A = \int_{0}^{4}\bigl(4x^{3} - x^{4}\bigr)dx = \left[x^{4} - \frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{4} = 256 - \frac{1024}{5}

= \frac{1280 - 1024}{5} = \frac{256}{5} = 51{,}2 \ \text{unidades cuadradas}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que $f'$ se anule no garantiza que haya un extremo. Aquí $f'(0) = 0$ por el factor $x^{2}$ , pero ese factor es siempre positivo y no cambia el signo de la derivada: la función sigue creciendo. Estudia el signo, no solo las raíces.

Al buscar los cortes con el eje, saca factor común en lugar de aplicar Ruffini: $4x^{3}-x^{4} = x^{3}(4-x)$ sale a la vista. Y fíjate en que $x=0$ es raíz triple, lo que explica que la gráfica cruce el eje ahí aplanándose, en vez de hacerlo en línea recta.