Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2025 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 1 (bloque obligatorio). Sea

f : [0,2] \to \mathbb{R}

la función definida por

f(x) = \begin{cases} 1 - e^{x} & \text{si } 0 \leq x < 1 \\[4pt] 2x - 1 - e & \text{si } 1 \leq x \leq 2 \end{cases}

a) [1 punto] Estudia la derivabilidad de

f

.

b) [1,5 puntos] Halla los extremos absolutos de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) Continua en } [0,2];\ \text{derivable salvo en } x=1,\ \text{donde } f'(1^{-}) = -e \neq 2 = f'(1^{+})\;}

\boxed{\;\text{b) Mínimo absoluto en } x=1: \ f(1) = 1 - e; \qquad \text{máximo absoluto en } x=2: \ f(2) = 3 - e\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En cada trozo abierto la función es elemental (una exponencial y una recta), así que ahí es derivable sin más. Todo el trabajo está en

x=1

, donde se juntan las dos ramas: primero continuidad, después derivadas laterales.

Para b), el dominio es un intervalo cerrado y acotado y

f

es continua en él, así que el teorema de Weierstrass garantiza que los extremos absolutos existen. Los candidatos son solo tres tipos de puntos: los extremos del intervalo (

x=0

x=2

), los puntos donde $f'$ se anula y los puntos donde $f$ no es derivable (

x=1

). Se evalúa

f

en todos y se comparan los valores.

Desarrollo

a) Derivabilidad.

En

(0,1)

f(x) = 1 - e^{x}

es derivable con

f'(x) = -e^{x}

. En

(1,2)

f(x) = 2x-1-e

es una recta, derivable con

f'(x) = 2

. Queda por estudiar

x = 1

.

Continuidad en $x=1$ :

\lim_{x\to 1^{-}} \bigl(1 - e^{x}\bigr) = 1 - e, \qquad \lim_{x\to 1^{+}}\bigl(2x - 1 - e\bigr) = 2 - 1 - e = 1 - e, \qquad f(1) = 1 - e

Los tres coinciden:

f

es continua en

x=1

y, por tanto, en todo

[0,2]

.

Derivadas laterales en $x=1$ :

f'(1^{-}) = -e^{1} = -e \approx -2{,}72 \qquad\qquad f'(1^{+}) = 2

Como

-e \neq 2

, $f$ no es derivable en $x=1$ (hay un punto anguloso). En resumen:

f \text{ es derivable en } [0,1) \cup (1,2] \text{ (con derivadas laterales en los extremos) y no lo es en } x=1

f'(x) = \begin{cases} -e^{x} & \text{si } 0 \leq x < 1 \\[4pt] 2 & \text{si } 1 < x \leq 2 \end{cases}

b) Extremos absolutos.

f

es continua en el cerrado

[0,2]

, luego alcanza máximo y mínimo absolutos (Weierstrass).

Monotonía: en

[0,1)

f'(x) = -e^{x} < 0

, así que

f

es estrictamente decreciente; en

(1,2]

f'(x) = 2 > 0

, así que es estrictamente creciente. La derivada no se anula en ningún punto, de modo que no hay más candidatos que los extremos del intervalo y el punto anguloso.

Valores en los candidatos:

f(0) = 1 - e^{0} = 0

f(1) = 1 - e \approx -1{,}72

f(2) = 2\cdot 2 - 1 - e = 3 - e \approx 0{,}28

Como

f

baja de

x=0

x=1

y sube de

x=1

x=2

Mínimo absoluto en $x = 1$ , de valor $f(1) = 1 - e$ .
Máximo absoluto en $x = 2$ , de valor $f(2) = 3 - e$ (mayor que $f(0) = 0$ porque $3 - e \approx 0{,}28 > 0$ ).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que $f$ no sea derivable en $x=1$ no impide que ahí haya un extremo: de hecho, ahí está el mínimo. Los puntos angulosos son candidatos de pleno derecho y olvidarlos es el error más común de este ejercicio.

Y no te quedes en "el máximo está en un extremo del intervalo": hay que comparar $f(0) = 0$ con $f(2) = 3-e$ . Como $e \approx 2{,}72$ , resulta $3 - e > 0$ y gana $x=2$ ; decidirlo a ojo, sin esa comparación numérica, no puntúa.