Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2012 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Sea

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = x^{3}-4x

.

a) [0,75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 1

.

b) [0,75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de

f

y la recta

y = -x-2

, determinando los puntos de corte de ambas gráficas.

c) [1 punto] Calcula el área del recinto anterior.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } f(1) = -3, \ f'(1) = -1: \quad y = -x-2 \ \ (\text{es la recta de b)})\;}

\boxed{\;\text{b) } x^{3}-3x+2 = (x-1)^{2}(x+2) = 0: \quad x = -2 \ \text{y} \ x = 1 \ (\text{doble})\;}

\boxed{\;A = \int_{-2}^{1}\bigl(x^{3}-3x+2\bigr)dx = \left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{3x^{2}}{2}+2x\right]_{-2}^{1}\;}

\boxed{\;A = \frac34-(-6) = \frac{27}{4} = 6{,}75 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay una conexión entre los apartados que conviene descubrir: la recta de b),

y = -x-2

, es exactamente la tangente calculada en a). Por eso, al restar, aparece una raíz doble en

x=1

f(x)-(-x-2) = x^{3}-3x+2 = (x-1)^{2}(x+2)

Los cortes son

x=-2

(simple) y

x=1

(doble, tangencial), y el recinto acotado está entre ellos.

Desarrollo

a) La tangente en $x=1$ .

f(1) = 1-4 = -3 \qquad f'(x) = 3x^{2}-4 \;\Longrightarrow\; f'(1) = -1

y+3 = -1\,(x-1) \;\Longrightarrow\; y = -x-2

Observación. Es exactamente la recta del apartado b).

b) Los puntos de corte.

x^{3}-4x = -x-2 \;\Longrightarrow\; x^{3}-3x+2 = 0

Por Ruffini,

x=1

es raíz (y doble):

x^{3}-3x+2 = (x-1)^{2}\,(x+2)

x = 1 \ (\text{doble, tangencial}) \qquad \text{y} \qquad x = -2

\text{Cortes: } (-2,\, 0) \qquad \text{y} \qquad (1,\, -3)

El recinto. Entre

x=-2

x=1

se tiene

(x-1)^{2}>0

x+2>0

, luego

f(x)-(-x-2) > 0

es decir, la cúbica va por encima de la recta en todo el intervalo.

c) El área.

A = \int_{-2}^{1}\Bigl[\bigl(x^{3}-4x\bigr)-\bigl(-x-2\bigr)\Bigr]dx = \int_{-2}^{1}\bigl(x^{3}-3x+2\bigr)dx

= \left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{3x^{2}}{2}+2x\right]_{-2}^{1}

En $x=1$ :

\;\dfrac14-\dfrac32+2 = \dfrac{1-6+8}{4} = \dfrac34

En $x=-2$ :

\;4-6-4 = -6

A = \frac34-(-6) = \frac{3}{4}+6 = \frac{27}{4} = 6{,}75 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Fíjate en que la recta de b) es la tangente de a): al restar aparece una raíz doble en $x=1$ , la firma inequívoca de la tangencia. Eso confirma los dos apartados a la vez.

El recinto acotado está entre los cortes $x=-2$ y $x=1$ . La factorización $(x-1)^{2}(x+2)$ dice además quién va arriba: es positiva en todo el intervalo, luego la cúbica.

Al evaluar en $x=-2$ , cuidado con las potencias: $\frac{(-2)^{4}}{4} = 4$ y $-\frac{3(-2)^{2}}{2} = -6$ . Un signo mal ahí cambia el área por completo.