Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2021 · Junio

Enunciado

Ejercicio 2 (bloque A). Considera la función continua

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = \begin{cases} (3x - 6)\,e^{x} & \text{si } x \leq 0 \\[10pt] \dfrac{36\bigl(\operatorname{sen}(x) - ax\bigr)}{x^{3}} & \text{si } x > 0 \end{cases}

a) [1,5 puntos] Calcula

a

.

b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = -1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad a = 1 \quad \text{(y entonces } \lim_{x\to 0^{+}} f(x) = -6 = f(0)\text{)}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad y = -\frac{6}{e}\,x - \frac{15}{e} \approx -2{,}21\,x - 5{,}52\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La continuidad en

x = 0

es la condición que despeja

a

, pero el límite por la derecha es una indeterminación

\frac{0}{0}

con denominador de orden tres. Para que exista y sea finito, el numerador tiene que ser también de orden

\geq 3

: eso obliga a que el término en $x$ se cancele, y de ahí sale

a

.

Con desarrollos de Taylor se ve en dos líneas; con L'Hôpital hacen falta tres aplicaciones sucesivas.

El apartado b) es independiente de

a

: el punto

x = -1

está en el primer trozo, que no lleva parámetros. Es una derivada de un producto y nada más.

Desarrollo

a) Continuidad en $x = 0$ .

Por la izquierda:

\lim_{x\to 0^{-}} f(x) = f(0) = (3\cdot 0 - 6)\,e^{0} = -6

Por la derecha, usando

\operatorname{sen}(x) = x - \dfrac{x^{3}}{6} + O(x^{5})

\operatorname{sen}(x) - ax = (1 - a)\,x - \frac{x^{3}}{6} + O\!\left(x^{5}\right)

\frac{36\bigl(\operatorname{sen} x - ax\bigr)}{x^{3}} = \frac{36(1-a)}{x^{2}} - 6 + O\!\left(x^{2}\right)

a \neq 1

, el primer sumando tiende a

\pm\infty

y no hay límite finito. Para que exista:

1 - a = 0 \;\Longrightarrow\; a = 1

Y entonces

\lim_{x\to 0^{+}} f(x) = 36\cdot\left(-\frac{1}{6}\right) = -6

que coincide con el valor por la izquierda: la función es continua. $a = 1$ .

(Con L'Hôpital, aplicado tres veces a $\frac{36(\operatorname{sen} x - x)}{x^{3}}$ : $\frac{36(\cos x - 1)}{3x^{2}} \to \frac{-36\operatorname{sen} x}{6x} \to \frac{-36\cos x}{6} \to -6$ .)

b) Recta tangente en $x = -1$ . Ese punto pertenece al primer trozo,

f(x) = (3x-6)e^{x}

.

Ordenada.

f(-1) = \bigl(-3 - 6\bigr)e^{-1} = -\frac{9}{e} \approx -3{,}311

Derivada (regla del producto):

f'(x) = 3e^{x} + (3x - 6)e^{x} = (3x - 3)\,e^{x}

f'(-1) = (-3 - 3)\,e^{-1} = -\frac{6}{e} \approx -2{,}207

Ecuación de la tangente.

y + \frac{9}{e} = -\frac{6}{e}\,(x + 1) \;\Longrightarrow\; y = -\frac{6}{e}x - \frac{6}{e} - \frac{9}{e}

y = -\frac{6}{e}\,x - \frac{15}{e}

Numéricamente,

y \approx -2{,}207\,x - 5{,}518

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Compara siempre el orden del numerador con el del denominador. Aquí el denominador es $x^{3}$ , así que el numerador debe empezar en $x^{3}$ : el coeficiente de $x$ tiene que anularse, y esa es la ecuación que da $a$ . Sin ese razonamiento, el apartado a) no tiene por dónde empezar.

Y fíjate en qué trozo cae el punto de b): $x = -1 \leq 0$ , luego se usa $(3x-6)e^{x}$ , la rama sin parámetro. Derivar la otra expresión ahí es un error de lectura que invalida todo el apartado, y además es innecesariamente laborioso.