Límites y continuidad

a) La asíntota oblicua.

Para que exista asíntota oblicua, el grado del numerador debe ser el del denominador más uno. Como el denominador es de grado $2$, el numerador debe ser de grado $3$, luego $a \neq 0$; y el cociente de la división empieza por $\dfrac{ax^{3}}{x^{2}} = ax$. Para que el cociente sea $x-2$ hace falta$$a = 1$$Con $a=1$, dividimos $x^{3} + 0x^{2} + x - 1$ entre $x^{2}+bx-3$. El cociente es de la forma $x + c$ y$$\bigl(x^{2}+bx-3\bigr)(x+c) = x^{3} + (b+c)x^{2} + (bc-3)x - 3c$$Comparando el coeficiente de $x^{2}$ (que en el numerador es $0$), el término en $x^{2}$ solo puede venir de aquí, así que$$b + c = 0 \;\Longrightarrow\; c = -b$$Y para que el cociente sea $x-2$ se necesita $c = -2$, es decir$$b = 2$$Comprobamos haciendo la división completa con $a=1$, $b=2$:$$\frac{x^{3}+x-1}{x^{2}+2x-3} = x - 2 + \frac{8x-7}{x^{2}+2x-3}$$(En efecto: $(x^{2}+2x-3)(x-2) = x^{3}-7x+6$, y $x^{3}+x-1 - (x^{3}-7x+6) = 8x-7$.)

Como $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{8x-7}{x^{2}+2x-3} = 0$, la recta $y = x-2$ es asíntota oblicua ✓.

b) Asíntotas verticales con $a=0$ y $b=2$.$$f(x) = \frac{0 + x - 1}{x^{2}+2x-3} = \frac{x-1}{x^{2}+2x-3}$$Ceros del denominador:$$x^{2}+2x-3 = (x+3)(x-1) = 0 \;\Longrightarrow\; x = -3 \quad\text{y}\quad x = 1$$Son los dos candidatos. Hay que estudiar el límite en cada uno.

En $x = 1$: el factor $(x-1)$ está también en el numerador, luego para $x \neq 1$$$f(x) = \frac{x-1}{(x+3)(x-1)} = \frac{1}{x+3}$$$$\lim_{x\to 1} f(x) = \frac{1}{4}$$El límite es finito: en $x=1$ no hay asíntota vertical, sino una discontinuidad evitable (un "agujero" en la gráfica).

En $x = -3$:$$\lim_{x\to -3^{-}} \frac{1}{x+3} = -\infty, \qquad \lim_{x\to -3^{+}} \frac{1}{x+3} = +\infty$$Los límites laterales son infinitos, luego $x = -3$ es la única asíntota vertical, y la gráfica se va a $-\infty$ por la izquierda y a $+\infty$ por la derecha.