Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2010 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Entre todos los triángulos rectángulos de

5

metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;a^{2}+b^{2} = 25 \;\Longrightarrow\; A(a) = \frac{a\sqrt{25-a^{2}}}{2}\;}

\boxed{\;A'(a) = \frac{25-2a^{2}}{2\sqrt{25-a^{2}}} = 0 \;\Longrightarrow\; a^{2} = \frac{25}{2}\;}

\boxed{\;a = b = \frac{5\sqrt2}{2} \approx 3{,}54 \ \text{m} \ \text{(triángulo isósceles)}\;}

\boxed{\;A_{\max} = \frac{25}{4} = 6{,}25 \ \text{m}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Si los catetos son

a

b

, el teorema de Pitágoras da la ligadura

a^{2}+b^{2} = 25

y el área es

A = \dfrac{ab}{2}

.

Al despejar

b = \sqrt{25-a^{2}}

aparece una raíz. Hay dos formas de esquivarla:

derivar $A$ directamente (regla del producto y de la cadena), o
maximizar $A^{2} = \dfrac{a^{2}\bigl(25-a^{2}\bigr)}{4}$ , que es un polinomio.

Usamos la primera y comprobamos con la segunda.

Desarrollo

La ligadura.

a^{2}+b^{2} = 25 \;\Longrightarrow\; b = \sqrt{25-a^{2}}, \qquad 0<a<5

El área.

A(a) = \frac{a\sqrt{25-a^{2}}}{2}

Derivamos.

A'(a) = \frac12\left[\sqrt{25-a^{2}}+a\cdot\frac{-2a}{2\sqrt{25-a^{2}}}\right] = \frac12\cdot\frac{\bigl(25-a^{2}\bigr)-a^{2}}{\sqrt{25-a^{2}}}

A'(a) = \frac{25-2a^{2}}{2\sqrt{25-a^{2}}}

A'(a) = 0 \;\Longleftrightarrow\; 25-2a^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; a^{2} = \frac{25}{2}

a = \frac{5}{\sqrt2} = \frac{5\sqrt2}{2} \approx 3{,}54 \ \text{m}

Es máximo: el denominador es positivo, así que el signo de

A'

es el de

25-2a^{2}

a<\tfrac{5\sqrt2}{2} \Rightarrow A'>0 \ \text{(crece)} \qquad a>\tfrac{5\sqrt2}{2} \Rightarrow A'<0 \ \text{(decrece)}

El otro cateto.

b = \sqrt{25-\frac{25}{2}} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5\sqrt2}{2} = a

\textbf{Los dos catetos miden } \frac{5\sqrt2}{2} \approx 3{,}54 \ \text{m: el triángulo es isósceles}

A_{\max} = \frac12\cdot\frac{25}{2} = \frac{25}{4} = 6{,}25 \ \text{m}^{2}

Comprobación de Pitágoras:

\;\frac{25}{2}+\frac{25}{2} = 25

\;\checkmark

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Consejo

El resultado es siempre el mismo en esta familia de problemas: con la hipotenusa fija, el área máxima la da el triángulo rectángulo isósceles. Si te salen catetos distintos, revisa.

Para evitar derivar la raíz puedes maximizar $A^{2} = \frac{a^{2}(25-a^{2})}{4}$ : el máximo está en el mismo punto y el cálculo es de una parábola en $a^{2}$ .

Justifica el máximo con el signo de $A'$ : el denominador $2\sqrt{25-a^{2}}$ es positivo en todo el dominio, así que basta con el numerador.