Opción A · Ejercicio 1. Sean f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} las funciones definidas por f(x) = x^{2}+a x+b \qquad \text{y} \qquad g(x) = c\,e^{-(x+1)} Se sabe que las gráficas de f y g se cortan en el punto (-1,2) y tienen en ese punto la misma recta tangente. a) [2 puntos] Calcula los valores de a, b y c. b) [0,5 puntos] Halla la ecuación de dicha recta tangente.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2008 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. Sean

f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

las funciones definidas por

f(x) = x^{2}+a x+b \qquad \text{y} \qquad g(x) = c\,e^{-(x+1)}

Se sabe que las gráficas de

f

g

se cortan en el punto $(-1,2)$ y tienen en ese punto la misma recta tangente.

a) [2 puntos] Calcula los valores de

a

b

c

.

b) [0,5 puntos] Halla la ecuación de dicha recta tangente.

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Resultado

\boxed{\;g(-1) = c\,e^{0} = c = 2\;}

\boxed{\;g'(x) = -c\,e^{-(x+1)} \;\Longrightarrow\; g'(-1) = -2 = f'(-1) = -2+a \;\Longrightarrow\; a = 0\;}

\boxed{\;f(-1) = 1-a+b = 2 \;\Longrightarrow\; b = 1\;}

\boxed{\;a = 0, \ b = 1, \ c = 2; \qquad \text{tangente } y = -2x\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres condiciones para tres incógnitas:

$f(-1) = 2$ (la parábola pasa por el punto),
$g(-1) = 2$ (la exponencial también),
$f'(-1) = g'(-1)$ (misma pendiente, es decir, misma tangente).

Detalle cómodo: en

x = -1

el exponente

-(x+1)

vale

0

, así que

e^{0} = 1

y las evaluaciones de

g

g'

son inmediatas.

Desarrollo

Las derivadas.

f'(x) = 2x+a \qquad g'(x) = c\,e^{-(x+1)}\cdot(-1) = -c\,e^{-(x+1)}

1) La exponencial pasa por $(-1,2)$ .

g(-1) = c\,e^{0} = c = 2 \;\Longrightarrow\; c = 2

2) Misma pendiente en $x = -1$ .

g'(-1) = -c\,e^{0} = -c = -2

f'(-1) = -2+a

-2+a = -2 \;\Longrightarrow\; a = 0

3) La parábola pasa por $(-1,2)$ .

f(-1) = 1-a+b = 1-0+b = 2 \;\Longrightarrow\; b = 1

a = 0, \qquad b = 1, \qquad c = 2

f(x) = x^{2}+1 \qquad g(x) = 2\,e^{-(x+1)}

Comprobaciones.

f(-1) = 1+1 = 2 \;\checkmark \qquad g(-1) = 2\cdot1 = 2 \;\checkmark

f'(-1) = -2 \;\checkmark \qquad g'(-1) = -2 \;\checkmark

b) La recta tangente. Punto

(-1,2)

y pendiente

-2

y-2 = -2\,\bigl(x-(-1)\bigr) = -2\,(x+1)

y = -2x-2+2 \;\Longrightarrow\; y = -2x

(Pasa por el origen: en efecto, $-2(-1) = 2$ $\checkmark$ )

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Tienen la misma recta tangente en un punto" son dos condiciones: pasar por el punto (las dos) y tener la misma derivada allí. Con el corte ya dado, son tres ecuaciones.

Al derivar $e^{-(x+1)}$ , la regla de la cadena aporta el factor $-1$ . Olvidarlo cambia el signo de la pendiente y estropea todo el ejercicio.

Elige el orden de resolución que menos cuentas exija: aquí $c$ sale solo, después $a$ y por último $b$ . Cada paso usa lo anterior.