Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2011 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Sea

f\colon(0,+\infty)\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = x\,\bigl(1-\ln(x)\bigr)

donde

\ln

denota la función logaritmo neperiano. Determina la primitiva de

f

cuya gráfica pasa por el punto

P(1,1)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\int x\,(1-\ln x)\,dx = \int x\,dx-\int x\ln x\,dx\;}

\boxed{\;\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{x^{2}}{4} \quad (u = \ln x, \ dv = x\,dx)\;}

\boxed{\;F(x) = \frac{3x^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\ln x+C\;}

\boxed{\;F(1) = \tfrac34+C = 1 \Rightarrow C = \tfrac14: \quad F(x) = \frac{3x^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\ln x+\frac14\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Se separa la integral en dos y la segunda,

\displaystyle\int x\ln x\,dx

, se hace por partes con la elección estándar:

u = \ln x \;\Rightarrow\; du = \frac{dx}{x} \qquad dv = x\,dx \;\Rightarrow\; v = \frac{x^{2}}{2}

(El logaritmo siempre va en

u

: al derivarlo desaparece.)

Al final se fija la constante con la condición

F(1) = 1

Desarrollo

Separamos.

F(x) = \int x\,\bigl(1-\ln x\bigr)dx = \int x\,dx-\int x\ln x\,dx

\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}

La integral por partes. Con

u = \ln x

\;dv = x\,dx

\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x-\int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac1x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x-\int\frac{x}{2}\,dx

= \frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{x^{2}}{4}

Juntando.

F(x) = \frac{x^{2}}{2}-\left[\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{x^{2}}{4}\right]+C = \frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\ln x+C

F(x) = \frac{3x^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\ln x+C

La condición $F(1) = 1$ . Como

\ln1 = 0

F(1) = \frac34-0+C = 1 \;\Longrightarrow\; C = \frac14

F(x) = \frac{3x^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\ln x+\frac14

Comprobación (derivando).

F'(x) = \frac{3x}{2}-\left[x\ln x+\frac{x^{2}}{2}\cdot\frac1x\right] = \frac{3x}{2}-x\ln x-\frac{x}{2}

= x-x\ln x = x\,(1-\ln x) = f(x) \;\checkmark

Y el punto:

\;F(1) = \frac34+\frac14 = 1

\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En "primitiva que pasa por un punto" no basta con integrar: hay que fijar $C$ . Es la mitad del ejercicio y donde se pierden puntos por prisa.

Al integrar por partes con logaritmos, $u$ es siempre el logaritmo: al derivarlo se convierte en $\frac1x$ y simplifica con el $v$ polinómico.

Comprueba derivando el resultado. Es rápido y detecta cualquier error de signo en los dos términos con $x^{2}$ .