Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2020 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 2. Calcula

a > 0

sabiendo que el área de la región determinada por la gráfica de la función

f(x) = x\,e^{3x}

, el eje de abscisas y la recta

x = a

vale

\dfrac{1}{9}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A = \int_{0}^{a} x\,e^{3x}dx = \left[\frac{x e^{3x}}{3} - \frac{e^{3x}}{9}\right]_{0}^{a} = \frac{e^{3a}(3a-1) + 1}{9}\;}

\boxed{\;\frac{e^{3a}(3a-1)+1}{9} = \frac19 \;\Longrightarrow\; e^{3a}(3a-1) = 0 \;\Longrightarrow\; a = \frac{1}{3}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Otro problema inverso: se impone el área y se despeja el parámetro.

La región queda limitada por la curva, el eje

OX

y la vertical

x=a

. Como

f(x) = xe^{3x}

corta al eje solo en $x = 0$ (la exponencial no se anula nunca), el recinto es el comprendido entre

x = 0

x = a

, donde

f \geq 0

al ser

a > 0

.

La integral se hace por partes, y la ecuación final se simplifica de forma muy elegante.

Desarrollo

Los límites de integración.

f(x) = x\,e^{3x} = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = 0 \qquad (\text{porque } e^{3x} > 0 \text{ siempre})

Para

x > 0

se tiene

f(x) > 0

, así que el recinto está sobre el eje y

A = \int_{0}^{a} x\,e^{3x}\,dx

Integración por partes. Con

u = x

dv = e^{3x}dx

du = dx, \qquad v = \frac{e^{3x}}{3}

\int x\,e^{3x}dx = \frac{x\,e^{3x}}{3} - \int\frac{e^{3x}}{3}dx = \frac{x\,e^{3x}}{3} - \frac{e^{3x}}{9}

Evaluación entre $0$ y $a$ .

A = \left[\frac{x\,e^{3x}}{3} - \frac{e^{3x}}{9}\right]_{0}^{a} = \left(\frac{a\,e^{3a}}{3} - \frac{e^{3a}}{9}\right) - \left(0 - \frac{1}{9}\right)

A = \frac{3a\,e^{3a} - e^{3a} + 1}{9} = \frac{e^{3a}\,(3a - 1) + 1}{9}

Ecuación del área.

\frac{e^{3a}(3a-1) + 1}{9} = \frac{1}{9} \;\Longrightarrow\; e^{3a}(3a - 1) + 1 = 1

e^{3a}\,(3a - 1) = 0

Como

e^{3a} > 0

, el producto solo se anula si

3a - 1 = 0 \;\Longrightarrow\; a = \frac{1}{3}

que además cumple

a > 0

, como pedía el enunciado.

Comprobación. Con

a = \tfrac13

A = \frac{e^{1}\,(1 - 1) + 1}{9} = \frac{0 + 1}{9} = \frac{1}{9} \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El otro extremo del recinto no te lo dan: hay que deducirlo. La curva corta al eje $OX$ únicamente en $x = 0$ , así que ese es el límite inferior. Es el paso que más se olvida en los problemas de "curva, eje y recta vertical".

Al integrar por partes con $e^{3x}$ , no pierdas el $\tfrac13$ de la primitiva: $v = \frac{e^{3x}}{3}$ , y de ahí el $\frac{e^{3x}}{9}$ del segundo término. Ese $9$ es el que hace que la ecuación final cuadre tan limpiamente.

Y en el último paso, usa que una exponencial nunca vale cero: eso permite pasar de $e^{3a}(3a-1) = 0$ a $3a - 1 = 0$ sin más, sin tomar logaritmos ni resolver nada raro.