Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2024 · Junio

Enunciado

Ejercicio 4 (bloque B). Halla la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

tal que

f''(x) = x\cos(x)

y cuya gráfica pasa por los puntos

\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)

(\pi, 2\pi)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = -x\cos(x) + 2\operatorname{sen}(x) + \frac{x}{2} + \frac{\pi}{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Nos dan la derivada segunda, así que hay que integrar dos veces y aparecerán dos constantes,

C

D

; los dos puntos del enunciado son exactamente las dos condiciones necesarias para fijarlas.

Las dos integrales son por partes, con el polinomio como

u

\int x\cos(x)\,dx = x\operatorname{sen}(x) + \cos(x) \qquad\qquad \int x\operatorname{sen}(x)\,dx = -x\cos(x) + \operatorname{sen}(x)

Vale la pena escribirlas juntas: la segunda integración vuelve a necesitar una por partes, y tenerlas identificadas de antemano evita perderse.

Desarrollo

Primera integración. Por partes, con

u = x

dv = \cos(x)\,dx

(luego

v = \operatorname{sen}(x)

\int x\cos(x)\,dx = x\operatorname{sen}(x) - \int \operatorname{sen}(x)\,dx = x\operatorname{sen}(x) + \cos(x)

f'(x) = x\operatorname{sen}(x) + \cos(x) + C

Segunda integración. Ahora hace falta

\int x\operatorname{sen}(x)\,dx

, otra vez por partes con

u = x

dv = \operatorname{sen}(x)dx

(luego

v = -\cos(x)

\int x\operatorname{sen}(x)\,dx = -x\cos(x) + \int\cos(x)\,dx = -x\cos(x) + \operatorname{sen}(x)

Por tanto

f(x) = \bigl(-x\cos(x) + \operatorname{sen}(x)\bigr) + \operatorname{sen}(x) + Cx + D = -x\cos(x) + 2\operatorname{sen}(x) + Cx + D

Imponemos las condiciones.

Por el punto

\left(0,\frac{\pi}{2}\right)

, es decir

f(0) = \frac{\pi}{2}

-0\cdot\cos(0) + 2\operatorname{sen}(0) + 0 + D = D = \frac{\pi}{2}

Por el punto

(\pi, 2\pi)

, es decir

f(\pi) = 2\pi

, y usando

\cos\pi = -1

\operatorname{sen}\pi = 0

-\pi\cdot(-1) + 2\cdot 0 + C\pi + \frac{\pi}{2} = \pi + C\pi + \frac{\pi}{2} = 2\pi

C\pi = 2\pi - \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \;\Longrightarrow\; C = \frac{1}{2}

La función.

f(x) = -x\cos(x) + 2\operatorname{sen}(x) + \frac{x}{2} + \frac{\pi}{2}

Comprobación. Derivando dos veces:

f'(x) = -\cos(x) + x\operatorname{sen}(x) + 2\cos(x) + \frac{1}{2} = x\operatorname{sen}(x) + \cos(x) + \frac{1}{2}

f''(x) = \operatorname{sen}(x) + x\cos(x) - \operatorname{sen}(x) = x\cos(x)

Y los dos puntos:

f(0) = \frac{\pi}{2}

f(\pi) = \pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 2\pi

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La constante de la primera integración se convierte en $Cx$ al integrar otra vez, no sigue siendo $C$ . Es el error que más veces deja este ejercicio a medias, porque entonces las dos condiciones son incompatibles.

Fíjate en que aparecen dos senos en $f$ : uno viene de integrar $x\operatorname{sen}(x)$ y otro de integrar el $\cos(x)$ que arrastraba $f'$ . Perder uno de los dos es fácil si no escribes la integral término a término.