Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2025 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 3 (bloque con optatividad 1). Sea la función

f : (-1, 1) \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = \frac{1 + |x|}{1 - |x|}

a) [1,5 puntos] Estudia la derivabilidad de

f

.

b) [1 punto] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) Continua en } (-1,1);\ \text{derivable en } (-1,0)\cup(0,1);\ \text{no derivable en } x=0\ \bigl(f'(0^-)=-2 \neq 2 = f'(0^+)\bigr)\;}

\boxed{\;\text{b) Decreciente en } (-1,0), \quad \text{creciente en } (0,1), \quad \text{mínimo } f(0) = 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El valor absoluto es la clave: hay que quitarlo escribiendo

f

a trozos según el signo de

x

. El único punto conflictivo es

x = 0

, donde cambia la definición; en el resto del dominio

f

es un cociente de polinomios con denominador no nulo, y ahí la derivabilidad está garantizada.

En

x=0

se hace lo de siempre: primero continuidad (sin ella no puede haber derivabilidad) y después comparar las derivadas laterales. Y una vez calculadas esas derivadas, el apartado b) sale gratis: solo hay que mirar sus signos.

Desarrollo

La función a trozos. Como

|x| = x

x \geq 0

|x| = -x

x < 0

f(x) = \begin{cases} \dfrac{1-x}{1+x} & \text{si } -1 < x < 0 \\[8pt] \dfrac{1+x}{1-x} & \text{si } 0 \leq x < 1 \end{cases}

(-1,0)

el denominador

1+x

no se anula, y en

(0,1)

tampoco lo hace

1-x

: en ambos intervalos abiertos

f

es un cociente de funciones polinómicas con denominador no nulo, luego es derivable. Todo el estudio se concentra en

x = 0

.

Continuidad en $x = 0$ .

\lim_{x \to 0^{-}} \frac{1-x}{1+x} = 1, \qquad \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1+x}{1-x} = 1, \qquad f(0) = 1

Los tres valores coinciden:

f

es continua en

x=0

(y por tanto en todo

(-1,1)

).

a) Derivabilidad en $x = 0$ . Derivamos cada rama:

Para

x \in (-1,0)

f'(x) = \frac{(-1)(1+x) - (1-x)(1)}{(1+x)^{2}} = \frac{-1-x-1+x}{(1+x)^{2}} = \frac{-2}{(1+x)^{2}}

Para

x \in (0,1)

f'(x) = \frac{(1)(1-x) - (1+x)(-1)}{(1-x)^{2}} = \frac{1-x+1+x}{(1-x)^{2}} = \frac{2}{(1-x)^{2}}

Las derivadas laterales en

0

son entonces

f'(0^{-}) = \frac{-2}{1} = -2, \qquad f'(0^{+}) = \frac{2}{1} = 2

Como

f'(0^{-}) \neq f'(0^{+})

, $f$ no es derivable en $x = 0$ : la gráfica presenta ahí un punto anguloso (un "pico"). En resumen,

f \text{ es derivable en } (-1,0)\cup(0,1) \text{ y no lo es en } x = 0

b) Crecimiento y decrecimiento. Basta con el signo de

f'

, que ya está calculada:

En $(-1,0)$ : $f'(x) = \dfrac{-2}{(1+x)^{2}} < 0$ (el denominador es un cuadrado positivo), luego $f$ es decreciente.
En $(0,1)$ : $f'(x) = \dfrac{2}{(1-x)^{2}} > 0$ , luego $f$ es creciente.

\begin{array}{c|c|c} x & (-1,\ 0) & (0,\ 1) \\ \hline f'(x) & - & + \\ \hline f(x) & \text{decreciente} & \text{creciente} \end{array}

Por tanto en

x = 0

hay un mínimo (absoluto en el dominio) de valor

f(0) = 1

, aunque la función no sea derivable allí: es un mínimo "en pico", como el de

y = |x|

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Lo primero es quitar el valor absoluto y escribir la función a trozos. Intentar derivar $\frac{1+|x|}{1-|x|}$ directamente lleva a expresiones con $\frac{|x|}{x}$ que se manejan mal y suelen acabar en error de signo.

Y no confundas "no derivable" con "no continua": aquí $f$ sí es continua en $0$ , y hay que decirlo, porque si no lo fuera ni siquiera haría falta calcular las derivadas laterales. El orden correcto es continuidad primero, derivabilidad después.