Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2013 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] De la función

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = a x^{3}+b x^{2}+c x+d

se sabe que alcanza un máximo relativo en

x = 1

, que la gráfica tiene un punto de inflexión en $(0,0)$ y que

\int_{0}^{1}f(x)\,dx = \frac{5}{4}

Calcula

a

b

c

d

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(0) = 0 \Rightarrow d = 0; \qquad f''(0) = 2b = 0 \Rightarrow b = 0\;}

\boxed{\;f'(1) = 3a+c = 0 \Rightarrow c = -3a\;}

\boxed{\;\int_{0}^{1}\bigl(ax^{3}+cx\bigr)dx = \frac a4+\frac c2 = -\frac{5a}{4} = \frac54 \;\Longrightarrow\; a = -1\;}

\boxed{\;a = -1,\ b = 0,\ c = 3,\ d = 0: \quad f(x) = -x^{3}+3x \quad (f''(1) = -6 < 0)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cuatro incógnitas, cuatro condiciones, aunque una viene doble:

Máximo relativo en $x=1$ : $\;f'(1) = 0$ .
Punto de inflexión en $(0,0)$ : son dos datos, $\;f''(0) = 0\;$ y $\;f(0) = 0$ .
La integral: se calcula $\int_{0}^{1}f$ en función de los coeficientes y se iguala a $\frac54$ .

Las dos condiciones del punto de inflexión son inmediatas (

d = 0

b = 0

), lo que simplifica mucho las otras dos.

Desarrollo

Las derivadas.

f'(x) = 3a x^{2}+2b x+c \qquad f''(x) = 6a x+2b

1) Pasa por $(0,0)$ .

f(0) = d = 0

2) Inflexión en $x=0$ .

f''(0) = 2b = 0 \;\Longrightarrow\; b = 0

3) Máximo relativo en $x=1$ .

f'(1) = 3a+2b+c = 3a+c = 0 \;\Longrightarrow\; c = -3a

4) La integral. Con

b = d = 0

\int_{0}^{1}\bigl(a x^{3}+c x\bigr)dx = \left[\frac{a x^{4}}{4}+\frac{c x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{a}{4}+\frac{c}{2}

Sustituyendo

c = -3a

\frac{a}{4}-\frac{3a}{2} = \frac{a-6a}{4} = -\frac{5a}{4} = \frac{5}{4} \;\Longrightarrow\; a = -1

c = -3(-1) = 3

a = -1, \qquad b = 0, \qquad c = 3, \qquad d = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad f(x) = -x^{3}+3x

Comprobaciones.

f'(x) = -3x^{2}+3 \;\Longrightarrow\; f'(1) = 0 \;\checkmark

f''(x) = -6x \;\Longrightarrow\; f''(0) = 0 \;\checkmark \quad \text{y} \quad f''(1) = -6 < 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{máximo} \;\checkmark

f(0) = 0 \;\checkmark \qquad \int_{0}^{1}\bigl(-x^{3}+3x\bigr)dx = -\frac14+\frac32 = \frac54 \;\checkmark

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Consejo

"Punto de inflexión en $(0,0)$ " son dos condiciones: $f''(0) = 0$ y $f(0) = 0$ . Con cuatro incógnitas necesitas las cuatro ecuaciones.

Aplica primero las condiciones que anulan coeficientes ( $d=0$ , $b=0$ ): la integral queda entonces con solo dos términos y el despeje es directo.

Comprueba al final que en $x=1$ hay máximo ( $f''(1)<0$ ) y no un mínimo: el enunciado lo especifica y es lo que valida toda la solución.