Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2010 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula el valor de

a>0

sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola

y = x^{2}+a x

y la recta

\;y+x = 0\;

vale

36

unidades cuadradas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;x^{2}+ax = -x \;\Longrightarrow\; x\,(x+a+1) = 0: \ x = 0, \ x = -(a+1)\;}

\boxed{\;\text{Arriba va la recta}: \ -x-(x^{2}+ax) = -x\,(x+a+1) > 0 \text{ dentro}\;}

\boxed{\;A(a) = \int_{-(a+1)}^{0}\bigl[-x^{2}-(a+1)x\bigr]dx = \frac{(a+1)^{3}}{6}\;}

\boxed{\;\frac{(a+1)^{3}}{6} = 36 \Rightarrow (a+1)^{3} = 216 \Rightarrow a = 5\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Problema de área inverso: se plantea

A(a)

y se resuelve

A(a) = 36

.

Los cortes salen de igualar, y aparece una factorización muy limpia:

x^{2}+ax = -x \;\Longrightarrow\; x^{2}+(a+1)x = 0 \;\Longrightarrow\; x\,\bigl(x+a+1\bigr) = 0

Conviene llamar

k = a+1

: los cortes son

x = -k

x = 0

, y el área queda

\dfrac{k^{3}}{6}

, un cubo perfecto.

Desarrollo

La recta.

\;y+x = 0 \Longrightarrow y = -x

.

Los puntos de corte.

x^{2}+ax = -x \;\Longrightarrow\; x^{2}+(a+1)x = 0 \;\Longrightarrow\; x\,\bigl(x+(a+1)\bigr) = 0

x = 0 \qquad \text{o} \qquad x = -(a+1)

Como

a>0

, se tiene

-(a+1)<0

: el recinto vive en

\bigl[-(a+1),\,0\bigr]

.

¿Quién va arriba? La diferencia recta

-

parábola es

-x-\bigl(x^{2}+ax\bigr) = -x^{2}-(a+1)x = -x\,\bigl(x+a+1\bigr)

En el interior del intervalo,

x<0

(luego

-x>0

) y

x+a+1>0

: el producto es positivo, así que la recta está por encima.

El área. Llamando

k = a+1>1

A(a) = \int_{-k}^{0}\Bigl[-x^{2}-k x\Bigr]dx = \left[-\frac{x^{3}}{3}-\frac{k x^{2}}{2}\right]_{-k}^{0}

En $x = 0$ : vale

0

.

En $x = -k$ :

-\frac{(-k)^{3}}{3}-\frac{k\,k^{2}}{2} = \frac{k^{3}}{3}-\frac{k^{3}}{2} = -\frac{k^{3}}{6}

A = 0-\left(-\frac{k^{3}}{6}\right) = \frac{k^{3}}{6} = \frac{(a+1)^{3}}{6}

La ecuación.

\frac{(a+1)^{3}}{6} = 36 \;\Longrightarrow\; (a+1)^{3} = 216 \;\Longrightarrow\; a+1 = 6

a = 5

(Cumple $a>0$ $\checkmark$ )

Comprobación. Con

a = 5

: la parábola es

y = x^{2}+5x

, los cortes son

x = -6

x = 0

\int_{-6}^{0}\bigl[-x^{2}-6x\bigr]dx = \left[-\frac{x^{3}}{3}-3x^{2}\right]_{-6}^{0} = 0-\bigl(72-108\bigr) = 36 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con límites que dependen del parámetro, no sustituyas números antes de tiempo: deja $-(a+1)$ escrito (o llámalo $k$ ) y evalúa al final.

El cambio $k = a+1$ deja el área como $\frac{k^{3}}{6}$ , y $216 = 6^{3}$ sale de memoria. Sin él, la ecuación en $a$ parece un cúbico horrible.

Justifica quién va arriba con el signo del producto $-x(x+a+1)$ en el interior del intervalo. Es más riguroso que probar con un valor concreto y funciona para cualquier $a>0$ .