Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2018 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Considera las funciones

f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

dadas por

f(x) = 6x - x^{2} \qquad \text{y} \qquad g(x) = \bigl|x^{2} - 2x\bigr|

a) [1,25 puntos] Esboza el recinto limitado por las gráficas de

f

g

y calcula los puntos de corte de dichas gráficas.

b) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de

f

g

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;g(x) = x^{2}-2x \text{ si } x\leq 0 \text{ o } x\geq 2; \qquad g(x) = 2x - x^{2} \text{ si } 0<x<2\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{Cortes: } (0,0) \text{ y } (4,8)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A = \int_{0}^{2} 4x\,dx + \int_{2}^{4}\bigl(8x-2x^{2}\bigr)dx = 8 + \frac{32}{3} = \frac{56}{3}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El valor absoluto obliga a partir

g

en dos ramas. Como

x^{2}-2x = x(x-2)

es negativo justo entre

0

2

g(x) = \begin{cases} x^{2} - 2x & \text{si } x \leq 0 \text{ o } x \geq 2 \\ 2x - x^{2} & \text{si } 0 < x < 2\end{cases}

Los cortes hay que buscarlos rama por rama, comprobando que cada solución pertenece a su intervalo. Y en b) la integral se parte en $x=2$ , porque ahí cambia la expresión de

g

Desarrollo

a) Cortes.

Rama $0 < x < 2$ , con

g = 2x - x^{2}

6x - x^{2} = 2x - x^{2} \;\Longrightarrow\; 4x = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0

que no está en el intervalo abierto (es su extremo); se recupera en la otra rama.

Rama $x\leq 0$ o $x\geq 2$ , con

g = x^{2} - 2x

6x - x^{2} = x^{2} - 2x \;\Longrightarrow\; 2x^{2} - 8x = 0 \;\Longrightarrow\; 2x\,(x - 4) = 0

x = 0 \quad (\text{cumple } x\leq 0) \qquad \text{y} \qquad x = 4 \quad (\text{cumple } x\geq 2)

\text{Cortes: } (0,\, 0) \quad \text{y} \quad (4,\, 8)

(En efecto: $f(4) = 24 - 16 = 8$ y $g(4) = |16-8| = 8\;\checkmark$ )

El recinto.

f

es una parábola hacia abajo con ceros en

0

6

y vértice

(3,9)

g

es la parábola

x^{2}-2x

con el trozo central reflejado: forma un lóbulo positivo entre

0

2

(con máximo

1

x=1

) y crece a partir de

x=2

. El recinto va de

x=0

x=4

, con

f

por encima de

g

en todo ese tramo. En

x=2

la gráfica de

g

tiene un pico (no es derivable ahí).

b) Área, partiendo en

x=2

:

Tramo $[0,2]$ :

f - g = \bigl(6x - x^{2}\bigr) - \bigl(2x - x^{2}\bigr) = 4x

\int_{0}^{2} 4x\,dx = \Bigl[2x^{2}\Bigr]_{0}^{2} = 8

Tramo $[2,4]$ :

f - g = \bigl(6x - x^{2}\bigr) - \bigl(x^{2} - 2x\bigr) = 8x - 2x^{2}

\int_{2}^{4}\bigl(8x - 2x^{2}\bigr)dx = \left[4x^{2} - \frac{2x^{3}}{3}\right]_{2}^{4} = \left(64 - \frac{128}{3}\right) - \left(16 - \frac{16}{3}\right)

= 48 - \frac{112}{3} = \frac{144 - 112}{3} = \frac{32}{3}

Total.

A = 8 + \frac{32}{3} = \frac{24 + 32}{3} = \frac{56}{3} \approx 18{,}67 \ \text{unidades cuadradas}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Abre el valor absoluto antes de nada y anota en qué intervalo vale cada rama. Buscar los cortes con la expresión " $|x^{2}-2x|$ " tal cual es imposible, y usar una sola rama en todo $\mathbb{R}$ produce cortes falsos.

La integral hay que partirla en $x=2$ , aunque $g$ sea continua ahí: la fórmula cambia, y ese punto es además donde $g$ tiene un pico. Integrar de $0$ a $4$ con una sola expresión da un resultado incorrecto.

Verifica cada solución en su intervalo. Aquí $x=0$ aparece en las dos ramas, pero solo es válido en la segunda; en la primera es el extremo del intervalo abierto, no un punto interior.