Opción B · Ejercicio 2. Dada la función f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x) = -2x^{2}+3x-1 a) [0,5 puntos] Prueba que las rectas \;y = -x+1\; e \;y = 3x-1\; son tangentes a su gráfica. b) [2 puntos] Halla el área del recinto limitado por la gráfica de f y las rectas mencionadas en el apartado anterior.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2011 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Dada la función

f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = -2x^{2}+3x-1

a) [0,5 puntos] Prueba que las rectas

\;y = -x+1\;

\;y = 3x-1\;

son tangentes a su gráfica.

b) [2 puntos] Halla el área del recinto limitado por la gráfica de

f

y las rectas mencionadas en el apartado anterior.

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Resultado

\boxed{\;f = -x+1: \ (x-1)^{2} = 0 \Rightarrow \text{tangente en } (1,0), \ f'(1) = -1\;}

\boxed{\;f = 3x-1: \ -2x^{2} = 0 \Rightarrow \text{tangente en } (0,-1), \ f'(0) = 3\;}

\boxed{\;\text{Rectas se cortan en } \left(\tfrac12,\tfrac12\right); \ \text{tangentes por encima de } f\;}

\boxed{\;A = \int_{0}^{1/2}2x^{2}dx+\int_{1/2}^{1}2(x-1)^{2}dx = \tfrac{1}{12}+\tfrac{1}{12} = \frac16\;}

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Estrategia

a) Una recta es tangente a una parábola $\iff$ al igualarlas la ecuación tiene una raíz doble. Se comprueba con el discriminante (o factorizando).
b) Como $f$ tiene ramas hacia abajo, las tangentes quedan por encima de la parábola. El recinto es el "triángulo curvilíneo" entre la parábola y las dos rectas, y se parte en dos tramos por el punto de corte de las rectas.

Desarrollo

a) Primera recta: $y = -x+1$ .

-2x^{2}+3x-1 = -x+1 \;\Longrightarrow\; -2x^{2}+4x-2 = 0 \;\Longrightarrow\; x^{2}-2x+1 = 0

(x-1)^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1 \ \text{(doble)} \;\Longrightarrow\; \textbf{tangente en } (1,\,0)

Segunda recta: $y = 3x-1$ .

-2x^{2}+3x-1 = 3x-1 \;\Longrightarrow\; -2x^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0 \ \text{(doble)} \;\Longrightarrow\; \textbf{tangente en } (0,\,-1)

Confirmación con la derivada.

\;f'(x) = -4x+3

f'(1) = -1 \ \text{(pendiente de } y=-x+1) \;\checkmark \qquad f'(0) = 3 \ \text{(pendiente de } y=3x-1) \;\checkmark

b) El corte de las dos rectas.

-x+1 = 3x-1 \;\Longrightarrow\; 4x = 2 \;\Longrightarrow\; x = \frac12, \quad y = \frac12

V\left(\tfrac12,\; \tfrac12\right)

El recinto. Vértices:

(0,-1)

\left(\frac12,\frac12\right)

(1,0)

. Está limitado

arriba por $y = 3x-1$ en $\left[0,\frac12\right]$ y por $y = -x+1$ en $\left[\frac12,1\right]$ ,
abajo por la parábola en todo $[0,1]$ .

(Como $a = -2<0$ , la parábola es cóncava y toda tangente queda por encima de ella.)

Primer tramo.

A_{1} = \int_{0}^{1/2}\Bigl[(3x-1)-(-2x^{2}+3x-1)\Bigr]dx = \int_{0}^{1/2}2x^{2}\,dx

= \left[\frac{2x^{3}}{3}\right]_{0}^{1/2} = \frac{2}{3}\cdot\frac18 = \frac{1}{12}

Segundo tramo.

A_{2} = \int_{1/2}^{1}\Bigl[(-x+1)-(-2x^{2}+3x-1)\Bigr]dx = \int_{1/2}^{1}\bigl[2x^{2}-4x+2\bigr]dx

El integrando es

2\,(x-1)^{2}

A_{2} = \left[\frac{2\,(x-1)^{3}}{3}\right]_{1/2}^{1} = 0-\frac{2}{3}\left(-\frac12\right)^{3} = \frac{2}{3}\cdot\frac18 = \frac{1}{12}

El área total.

A = \frac{1}{12}+\frac{1}{12} = \frac16 \approx 0{,}167 \ \text{u}^{2}

(Los dos tramos valen lo mismo porque la altura de las franjas es simétrica respecto de $x = \frac12$ : vale $2x^{2}$ a la izquierda y $2(1-x)^{2}$ a la derecha, que se intercambian al cambiar $x$ por $1-x$ . El recinto en sí no es simétrico: sus vértices $(0,-1)$ y $(1,0)$ no están a la misma altura.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Ser tangente" a una parábola equivale a raíz doble al igualar. Es más rápido que calcular el punto y la derivada, aunque conviene confirmar con $f'$ como hemos hecho.

Como la parábola es cóncava ( $a<0$ ), sus tangentes están siempre por encima. Ese argumento te ahorra dibujar para decidir quién va arriba en cada integral.

El punto de corte de las dos rectas es lo que parte la integral. Olvidarlo y usar un solo tramo es el error que más puntos cuesta en este apartado.