Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2024 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 1 (bloque A). De entre todos los rectángulos de área

25

^{2}

, determina las dimensiones de aquel en el que el producto de las longitudes de sus dos diagonales sea el menor posible.

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Resultado

\boxed{\;\text{El rectángulo es el cuadrado de lado } 5 \ \text{cm}\;}

\boxed{\;\text{Producto mínimo de las diagonales: } P = 50 \ \text{cm}^{2} \quad (\text{cada diagonal mide } 5\sqrt{2} \ \text{cm})\;}

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Estrategia

Problema de optimización con ligadura: dos dimensiones

x

y

, atadas por

xy = 25

, y una magnitud que minimizar.

La observación que lo simplifica todo: en un rectángulo las dos diagonales miden lo mismo,

d = \sqrt{x^{2}+y^{2}}

. Así que su producto es

d\cdot d = d^{2} = x^{2}+y^{2}

y desaparece la raíz cuadrada sin necesidad de trucos. Los criterios dan hasta

1{,}25

puntos (la mitad del ejercicio) solo por definir bien esta función, así que ese paso es el que hay que dejar escrito con claridad.

Desarrollo

Variables y ligadura. Sean

x

y

(en cm,

x>0

y>0

) los lados del rectángulo. El área impone

xy = 25 \;\Longrightarrow\; y = \frac{25}{x}

Función a minimizar. Las dos diagonales de un rectángulo son iguales y miden

\sqrt{x^{2}+y^{2}}

, luego su producto es

P = \sqrt{x^{2}+y^{2}}\cdot\sqrt{x^{2}+y^{2}} = x^{2} + y^{2}

Sustituyendo la ligadura, queda una función de una sola variable:

P(x) = x^{2} + \frac{625}{x^{2}}, \qquad x > 0

Punto crítico.

P'(x) = 2x - \frac{1250}{x^{3}} = 0 \;\Longrightarrow\; 2x^{4} = 1250 \;\Longrightarrow\; x^{4} = 625 \;\Longrightarrow\; x = 5

(De las cuatro raíces cuartas de $625$ solo $x=5$ es válida: $x$ es una longitud y debe ser positiva.)

Comprobación de que es mínimo.

P''(x) = 2 + \frac{3750}{x^{4}} > 0 \quad\text{para todo } x>0

luego

P

es convexa en el dominio y en

x=5

hay un mínimo absoluto.

Las dimensiones.

x = 5 \ \text{cm} \;\Longrightarrow\; y = \frac{25}{5} = 5 \ \text{cm}

El rectángulo óptimo es un cuadrado de lado $5$ cm. Su diagonal mide

\sqrt{25+25} = 5\sqrt{2}

cm y el producto de las dos diagonales vale

P = 5\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2} = 50 \ \text{cm}^{2}

(Coherente con $P(5) = 25 + 25 = 50$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Aprovecha que las dos diagonales de un rectángulo son iguales: su producto es $d^{2} = x^{2}+y^{2}$ , sin raíces. Quien plantea $P = \sqrt{x^{2}+y^{2}}\cdot\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ y no simplifica acaba derivando una raíz innecesariamente.

Y no olvides justificar el mínimo (con $P''>0$ o con el signo de $P'$ ) ni descartar las raíces negativas de $x^{4} = 625$ : son longitudes. Sin esa justificación, en optimización no se da la puntuación completa aunque el número sea correcto.

Paso 1 de 3

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