Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2009 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Se divide un segmento de longitud

L = 20\ \text{cm}

en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro un rectángulo en el que la base es el doble de la altura.

Calcula la longitud de cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Cuadrado: perímetro } x \Rightarrow \text{área } \tfrac{x^{2}}{16}\;}

\boxed{\;\text{Rect. } (2h\times h): \ 6h = 20-x \Rightarrow 2h^{2} = \tfrac{(20-x)^{2}}{18}\;}

\boxed{\;S'(x) = \frac{x}{8}-\frac{20-x}{9} = 0 \Rightarrow 17x = 160 \quad \bigl(S'' = \tfrac{17}{72}>0\bigr)\;}

\boxed{\;\text{Trozos: } \tfrac{160}{17}\approx9{,}41\ \text{cm y } \tfrac{180}{17}\approx10{,}59\ \text{cm}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada trozo es el perímetro de su figura, así que hay que traducirlo a dimensiones:

Cuadrado: perímetro $x$ $\Rightarrow$ lado $\dfrac{x}{4}$ $\Rightarrow$ área $\dfrac{x^{2}}{16}$ .
Rectángulo de altura $h$ y base $2h$ : perímetro $2\,(2h+h) = 6h = 20-x$ $\Rightarrow$ $h = \dfrac{20-x}{6}$ $\Rightarrow$ área $2h^{2}$ .

Sumando queda una parábola en

x

, con mínimo único.

Desarrollo

Las áreas.

A_{\text{cuad}} = \left(\frac{x}{4}\right)^{2} = \frac{x^{2}}{16}

6h = 20-x \;\Longrightarrow\; h = \frac{20-x}{6} \;\Longrightarrow\; A_{\text{rect}} = 2h^{2} = \frac{2\,(20-x)^{2}}{36} = \frac{(20-x)^{2}}{18}

La función a minimizar.

S(x) = \frac{x^{2}}{16}+\frac{(20-x)^{2}}{18}, \qquad 0<x<20

Derivamos.

S'(x) = \frac{2x}{16}-\frac{2\,(20-x)}{18} = \frac{x}{8}-\frac{20-x}{9}

S'(x) = 0 \;\Longrightarrow\; 9x = 8\,(20-x) \;\Longrightarrow\; 9x = 160-8x \;\Longrightarrow\; 17x = 160

x = \frac{160}{17} \approx 9{,}41 \ \text{cm}

Es mínimo:

S''(x) = \frac18+\frac19 = \frac{17}{72} > 0 \;\checkmark

Los dos trozos.

\textbf{Cuadrado: } \frac{160}{17}\approx9{,}41\ \text{cm} \qquad \textbf{Rectángulo: } \frac{180}{17}\approx10{,}59\ \text{cm}

Las figuras.

\text{lado del cuadrado} = \frac{40}{17}\approx2{,}35\ \text{cm}

h = \frac{30}{17}\approx1{,}76\ \text{cm}, \qquad \text{base} = \frac{60}{17}\approx3{,}53\ \text{cm}

S_{\min} = \frac{200}{17} \approx 11{,}76 \ \text{cm}^{2}

Comprobación:

\;\frac{160}{17}+\frac{180}{17} = \frac{340}{17} = 20

\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cada trozo es un perímetro, no un lado. Escribir el área del cuadrado como $x^{2}$ en vez de $\left(\frac{x}{4}\right)^{2}$ es el error más repetido de este problema.

El perímetro del rectángulo es $2\,(2h+h) = 6h$ , no $3h$ . Escribe la relación completa antes de despejar la altura.

Justifica el mínimo con $S''>0$ : en estas sumas de dos cuadrados la segunda derivada es constante y positiva, así que el argumento es inmediato.