Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2013 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula

\int_{2}^{4}\frac{x^{2}}{x^{2}-6x+5}\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;x^{2}-6x+5 = (x-1)(x-5); \quad \text{raíces } 1 \text{ y } 5 \text{ fuera de } [2,4]\;}

\boxed{\;\frac{x^{2}}{x^{2}-6x+5} = 1-\frac{1}{4(x-1)}+\frac{25}{4(x-5)}\;}

\boxed{\;F(x) = x-\frac14\ln(x-1)+\frac{25}{4}\ln(5-x)\;}

\boxed{\;\int_{2}^{4} = \left(4-\frac{\ln3}{4}\right)-\left(2+\frac{25\ln3}{4}\right) = 2-\frac{13\ln3}{2} \approx -5{,}14\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Integral racional definida con numerador y denominador del mismo grado: hay que dividir antes de descomponer.

El denominador factoriza como

(x-1)(x-5)

, con raíces

1

5

fuera del intervalo

[2,4]

— conviene comprobarlo, porque si alguna cayera dentro la integral sería impropia.

Y un detalle de signos: en

[2,4]

se cumple

x-1>0

pero

x-5<0

, así que

\lvert x-5\rvert = 5-x

Desarrollo

Factorización.

x^{2}-6x+5 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{6\pm\sqrt{36-20}}{2} = \frac{6\pm4}{2} \;\Longrightarrow\; x = 1,\ x = 5

x^{2}-6x+5 = (x-1)(x-5)

Ninguna raíz está en

[2,4]

: el integrando es continuo en todo el intervalo.

La división (mismos grados):

\frac{x^{2}}{x^{2}-6x+5} = 1+\frac{6x-5}{(x-1)(x-5)}

Fracciones simples.

\frac{6x-5}{(x-1)(x-5)} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-5} \;\Longrightarrow\; 6x-5 = A(x-5)+B(x-1)

x = 1: \quad 1 = -4A \;\Longrightarrow\; A = -\frac14

x = 5: \quad 25 = 4B \;\Longrightarrow\; B = \frac{25}{4}

\frac{x^{2}}{x^{2}-6x+5} = 1-\frac{1}{4(x-1)}+\frac{25}{4(x-5)}

La primitiva. En

[2,4]

, con

x-1>0

5-x>0

F(x) = x-\frac14\ln(x-1)+\frac{25}{4}\ln(5-x)

(El signo: $\int\frac{dx}{x-5} = \ln\lvert x-5\rvert = \ln(5-x)$ en este intervalo.)

Regla de Barrow.

F(4) = 4-\frac14\ln 3+\frac{25}{4}\ln 1 = 4-\frac{\ln 3}{4}

F(2) = 2-\frac14\ln 1+\frac{25}{4}\ln 3 = 2+\frac{25\ln 3}{4}

\int_{2}^{4} = \left(4-\frac{\ln3}{4}\right)-\left(2+\frac{25\ln3}{4}\right) = 2-\frac{26\ln3}{4} = 2-\frac{13\ln 3}{2}

\approx 2-7{,}141 = -5{,}14

(El resultado es negativo, y es coherente: en $[2,4]$ el denominador $(x-1)(x-5)$ es negativo, así que el integrando también.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Divide primero: con grados iguales, la parte entera es $1$ y solo entonces se descompone el resto. Saltarse ese paso lleva a un sistema incompatible.

Comprueba que las raíces del denominador (aquí $1$ y $5$ ) no caen dentro del intervalo. Si cayeran, la integral sería impropia y el planteamiento cambiaría.

En $[2,4]$ el factor $x-5$ es negativo: $\ln\lvert x-5\rvert = \ln(5-x)$ . Escribirlo así evita evaluar logaritmos de números negativos y hace que salga limpio $\ln 3$ en los dos extremos.