Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2014 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. Sea

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = x^{3}+a\,x^{2}+b\,x+c

.

a) [1,75 puntos] Halla

a

b

c

para que la gráfica de

f

tenga un punto de inflexión de abscisa

x = \dfrac12

y que la recta tangente en el punto de abscisa

x = 0

tenga por ecuación

y = 5-6x

.

b) [0,75 puntos] Para

a = 3

b = -9

c = 8

, calcula los extremos relativos de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = 3x^{2}+2ax+b, \qquad f''(x) = 6x+2a\;}

\boxed{\;\text{a) } f''\!\left(\tfrac12\right)=0 \Rightarrow a = -\tfrac32; \quad f'(0)=-6 \Rightarrow b = -6; \quad f(0)=5 \Rightarrow c = 5\;}

\boxed{\;\text{b) } f'(x) = 3(x-1)(x+3) = 0 \Rightarrow x = -3,\, 1\;}

\boxed{\;\text{Máximo } (-3,35) \ (f''<0); \qquad \text{Mínimo } (1,3) \ (f''>0)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Tres incógnitas, tres condiciones, pero una viene disfrazada: "la tangente en $x=0$ es $y = 5-6x$ " contiene dos datos:

- la recta pasa por el punto de tangencia

\Rightarrow

f(0) = 5

,
- su pendiente es la derivada

\Rightarrow

f'(0) = -6

.

Y el punto de inflexión da la tercera:

f''\!\left(\frac12\right) = 0

.

Cada ecuación aísla una incógnita, así que no hace falta resolver ningún sistema.

b) Con los coeficientes dados (que no son los del apartado a): $f'=0$ y clasificación con $f''$ .

Desarrollo

Las derivadas.

f'(x) = 3x^{2}+2a x+b \qquad f''(x) = 6x+2a

a) Las tres condiciones.

Inflexión en $x=\frac12$ :

f''\!\left(\frac12\right) = 6\cdot\frac12+2a = 3+2a = 0 \;\Longrightarrow\; a = -\frac{3}{2}

La tangente en $x=0$ es $y = 5-6x$ . Su pendiente:

f'(0) = b = -6

Y pasa por el punto de tangencia $(0,f(0))$ ; en $x=0$ la recta vale $5$ :

f(0) = c = 5

a = -\frac32, \qquad b = -6, \qquad c = 5

Comprobación.

\;f(x) = x^{3}-\frac32x^{2}-6x+5

f''(x) = 6x-3 \;\Longrightarrow\; f''\!\left(\tfrac12\right) = 0 \;\checkmark \qquad f(0) = 5, \ f'(0) = -6 \;\checkmark

b) Extremos con $a=3$ , $b=-9$ , $c=8$ .

f(x) = x^{3}+3x^{2}-9x+8 \qquad f'(x) = 3x^{2}+6x-9 = 3\,(x-1)(x+3)

f'(x) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1 \quad \text{o} \quad x = -3

Clasificación con $f''(x) = 6x+6$ .

f''(-3) = -18+6 = -12 < 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{máximo relativo}

f''(1) = 6+6 = 12 > 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{mínimo relativo}

Los valores.

f(-3) = -27+27+27+8 = 35 \qquad f(1) = 1+3-9+8 = 3

\text{Máximo en } (-3,\,35); \qquad \text{Mínimo en } (1,\,3)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"La recta tangente en $x=0$ es $y = 5-6x$ " da dos condiciones: el valor ( $f(0) = 5$ ) y la pendiente ( $f'(0) = -6$ ). Usar solo una deja el problema con una incógnita de más.

Los coeficientes del apartado b) no son los de a): el enunciado los cambia deliberadamente. Reutilizar los de a) es el error más caro de este ejercicio.

Para clasificar extremos en un polinomio, $f''$ es más rápido que el estudio de signos. Y recuerda dar también los valores $f(-3)$ y $f(1)$ : el enunciado pide abscisas y ordenadas.