Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2011 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo.

De entre todas las ventanas normandas de perímetro

10\ \text{m}

, halla las dimensiones del marco de la de área máxima.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;2r+2h+\pi r = 10 \;\Longrightarrow\; h = \frac{10-(2+\pi)r}{2}\;}

\boxed{\;A(r) = 10r-\left(2+\tfrac{\pi}{2}\right)r^{2}, \qquad A'(r) = 10-(4+\pi)r\;}

\boxed{\;r = \frac{10}{4+\pi} \approx 1{,}40\ \text{m} \ = h \qquad (A'' < 0)\;}

\boxed{\;\text{base } \frac{20}{4+\pi}\approx2{,}80\ \text{m}, \ \text{altura } \frac{10}{4+\pi}\approx1{,}40\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El truco está en elegir bien las variables: llamamos

r

al radio del semicírculo, que es la mitad de la base del rectángulo, y

h

a la altura del rectángulo.

El perímetro del marco es el contorno exterior: la base

2r

, los dos laterales

2h

y la semicircunferencia

\pi r

(la línea horizontal que separa el rectángulo del semicírculo no forma parte del marco).

Con la ligadura se despeja

h

y el área queda como función de una sola variable.

Desarrollo

Las variables.

\text{radio del semicírculo} = r \qquad \text{base del rectángulo} = 2r \qquad \text{altura} = h

La ligadura (perímetro $=10$ ).

2r+2h+\pi r = 10 \;\Longrightarrow\; h = \frac{10-2r-\pi r}{2}

El área.

A = \underbrace{2r\,h}_{\text{rectángulo}}+\underbrace{\frac{\pi r^{2}}{2}}_{\text{semicírculo}} = 2r\cdot\frac{10-2r-\pi r}{2}+\frac{\pi r^{2}}{2}

A(r) = 10r-2r^{2}-\pi r^{2}+\frac{\pi r^{2}}{2} = 10r-\left(2+\frac{\pi}{2}\right)r^{2}

Derivamos e igualamos a cero.

A'(r) = 10-\left(4+\pi\right)r = 0 \;\Longrightarrow\; r = \frac{10}{4+\pi}

Es máximo:

A''(r) = -(4+\pi) < 0 \quad \checkmark

La altura.

h = \frac{10-r\,(2+\pi)}{2} = \frac{10-\dfrac{10\,(2+\pi)}{4+\pi}}{2} = \frac{\dfrac{10\,(4+\pi)-10\,(2+\pi)}{4+\pi}}{2} = \frac{\dfrac{20}{4+\pi}}{2} = \frac{10}{4+\pi}

\boxed{h = r} \quad \text{(la altura del rectángulo coincide con el radio)}

Las dimensiones.

\text{base} = 2r = \frac{20}{4+\pi} \approx 2{,}80\ \text{m} \qquad \text{altura} = h = \frac{10}{4+\pi} \approx 1{,}40\ \text{m}

A_{\max} = \frac{50}{4+\pi} \approx 7{,}00\ \text{m}^{2}

Comprobación del perímetro:

\;2(1{,}400)+2(1{,}400)+\pi(1{,}400) = 2{,}800+2{,}800+4{,}399 \approx 10 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El error más frecuente es meter en el perímetro la cuerda horizontal del semicírculo. El marco es solo el contorno exterior: $2r+2h+\pi r$ , no $2r+2h+\pi r+2r$ .

Y ojo con la longitud de la semicircunferencia: es $\pi r$ (la mitad de $2\pi r$ ), mientras que el área del semicírculo es $\frac{\pi r^{2}}{2}$ .

El resultado $h = r$ es elegante y sirve de control: si al despejar la altura no te sale algo tan limpio, revisa la ligadura.