Opción A · Ejercicio 2. Sean f : \mathbb{R}\to\mathbb{R} y g : \mathbb{R}\to\mathbb{R} las funciones definidas mediante f(x) = \bigl\lvert x\,(x-2)\bigr\rvert \qquad \text{y} \qquad g(x) = x+4 a) [1,25 puntos] Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte entre ambas gráficas. b) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.

Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2013 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Sean

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

g : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

las funciones definidas mediante

f(x) = \bigl\lvert x\,(x-2)\bigr\rvert \qquad \text{y} \qquad g(x) = x+4

a) [1,25 puntos] Esboza las gráficas de

f

g

sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.

b) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de

f

g

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = x^{2}-2x \text{ si } x\leq0 \text{ o } x\geq2; \quad f(x) = 2x-x^{2} \text{ si } 0<x<2\;}

\boxed{\;x^{2}-3x-4 = 0 \Rightarrow x = -1,\,4; \qquad x^{2}-x+4 = 0 \text{ sin solución real}\;}

\boxed{\;A = \int_{-1}^{0}+\int_{0}^{2}+\int_{2}^{4} = \frac{13}{6}+\frac{26}{3}+\frac{22}{3}\;}

\boxed{\;A = \frac{109}{6} \approx 18{,}17 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Valor absoluto

\Rightarrow

función a trozos:

f(x) = \begin{cases} x^{2}-2x & \text{si } x\leq0 \ \text{ o } \ x\geq2 \\ 2x-x^{2} & \text{si } 0<x<2\end{cases}

Los cortes con la recta salen de dos ecuaciones (una por rama), y una de ellas no tiene solución.

Para el área hay que partir la integral en $x=0$ y $x=2$ , donde cambia la expresión de

f

: tres tramos en total.

Desarrollo

a) La función a trozos.

x(x-2) = 0

x=0

x=2

, y es negativo entre ellos:

f(x) = \begin{cases} x^{2}-2x & \text{si } x\leq0 \ \text{ o } \ x\geq2 \\ 2x-x^{2} & \text{si } 0<x<2\end{cases}

La gráfica es la parábola

y = x^{2}-2x

con el trozo entre

0

2

reflejado hacia arriba: dos ramas ascendentes y una "joroba" de altura

1

x=1

.

Los cortes con $g(x) = x+4$ .

Rama exterior:

x^{2}-2x = x+4 \;\Longrightarrow\; x^{2}-3x-4 = 0 \;\Longrightarrow\; x = -1 \ \text{ o } \ x = 4

(Los dos valores caen efectivamente en la zona $x\leq0$ o $x\geq2$ $\checkmark$ )

Rama central:

2x-x^{2} = x+4 \;\Longrightarrow\; x^{2}-x+4 = 0

Discriminante

1-16 = -15 < 0

: sin solución real.

\text{Cortes: } (-1,\,3) \qquad \text{y} \qquad (4,\,8)

b) El área. En

(-1,4)

la recta va por encima de

f

(en

x=1

g=5 > f=1

). Hay que partir en

0

2

:

Tramo $[-1,0]$ (rama

x^{2}-2x

\int_{-1}^{0}\bigl[(x+4)-(x^{2}-2x)\bigr]dx = \int_{-1}^{0}\bigl(-x^{2}+3x+4\bigr)dx = \left[-\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}+4x\right]_{-1}^{0}

= 0-\left(\frac13+\frac32-4\right) = \frac{13}{6}

Tramo $[0,2]$ (rama

2x-x^{2}

\int_{0}^{2}\bigl[(x+4)-(2x-x^{2})\bigr]dx = \int_{0}^{2}\bigl(x^{2}-x+4\bigr)dx = \left[\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+4x\right]_{0}^{2} = \frac83-2+8 = \frac{26}{3}

Tramo $[2,4]$ (rama

x^{2}-2x

\int_{2}^{4}\bigl(-x^{2}+3x+4\bigr)dx = \left[-\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}+4x\right]_{2}^{4} = \left(-\frac{64}{3}+24+16\right)-\left(-\frac83+6+8\right) = \frac{22}{3}

El área total.

A = \frac{13}{6}+\frac{26}{3}+\frac{22}{3} = \frac{13+52+44}{6} = \frac{109}{6} \approx 18{,}17 \ \text{u}^{2}

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Consejo

Plantea las dos ecuaciones de corte, una por rama. Que la de la rama central no tenga solución real es la información que te dice que la recta pasa por encima de la joroba.

La integral hay que partirla en $x=0$ y $x=2$ , aunque los límites globales sean $-1$ y $4$ : ahí cambia la expresión de $f$ . Integrar de una vez da un resultado erróneo.

Comprueba que las soluciones de cada ecuación caen en el tramo correcto. Aquí $-1$ y $4$ están fuera de $(0,2)$ , como corresponde a la rama exterior; si no lo estuvieran, habría que descartarlas.