Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2014 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Sea

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = x^{3}-3x^{2}-x+3

.

a) [0,75 puntos] Halla, si existe, el punto de la gráfica de

f

en el que la recta tangente es

y = 3-x

.

b) [1,75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de

f

y la recta del apartado anterior.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } f'(x) = -1 \;\Longrightarrow\; 3x(x-2) = 0: \ x = 0 \text{ o } x = 2\;}

\boxed{\;f(0) = 3 = 3-0 \ \checkmark; \quad f(2) = -3 \neq 1 \ \times \;\Longrightarrow\; \text{el punto es } (0,3)\;}

\boxed{\;\text{b) } f(x)-(3-x) = x^{2}(x-3) = 0: \ x = 0 \ (\text{doble}), \ x = 3\;}

\boxed{\;A = \int_{0}^{3}\bigl(3x^{2}-x^{3}\bigr)dx = 27-\frac{81}{4} = \frac{27}{4}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Que la tangente sea esa recta impone dos condiciones:

- la pendiente coincide:

f'(x) = -1

,
- y el punto está sobre la recta:

f(x) = 3-x

.

De la primera salen dos candidatos; la segunda descarta uno. La palabra "si existe" del enunciado avisa precisamente de eso.

b) Los cortes entre la cúbica y la recta salen de factorizar $f(x)-(3-x)$ . Aparecerá una raíz doble (el punto de tangencia) y otra simple.

Desarrollo

a) La pendiente.

f'(x) = 3x^{2}-6x-1 = -1 \;\Longrightarrow\; 3x^{2}-6x = 0 \;\Longrightarrow\; 3x\,(x-2) = 0

x = 0 \quad \text{o} \quad x = 2

¿Cuál está sobre la recta?

x = 0: \quad f(0) = 3 \qquad \text{recta: } 3-0 = 3 \quad \checkmark

x = 2: \quad f(2) = 8-12-2+3 = -3 \qquad \text{recta: } 3-2 = 1 \quad \times

\textbf{El punto es } (0,\,3)

(En $x=2$ la gráfica tiene una tangente paralela a $y=3-x$ , pero no es esa recta.)

b) Los cortes con la recta.

f(x)-(3-x) = x^{3}-3x^{2}-x+3-3+x = x^{3}-3x^{2} = x^{2}\,(x-3)

x^{2}(x-3) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0 \ (\text{doble}) \quad \text{y} \quad x = 3

(La raíz doble en $x=0$ confirma la tangencia del apartado a).)

Quién va arriba. En

(0,3)

se tiene

x^{2}>0

x-3<0

, luego

f(x)-(3-x) < 0

: la recta está por encima de la cúbica en todo el intervalo.

El área.

A = \int_{0}^{3}\Bigl[(3-x)-f(x)\Bigr]dx = -\int_{0}^{3}x^{2}(x-3)\,dx = \int_{0}^{3}\bigl(3x^{2}-x^{3}\bigr)dx

= \left[x^{3}-\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{3} = 27-\frac{81}{4} = \frac{108-81}{4} = \frac{27}{4}

A = \frac{27}{4} = 6{,}75 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"La tangente es $y = 3-x$ " son dos condiciones: igual pendiente y el punto sobre la recta. Con solo la pendiente aceptarías $x=2$ , donde hay una tangente paralela pero distinta.

La raíz doble en $x=0$ al restar la recta es la firma de la tangencia: sirve de comprobación cruzada del apartado a).

La recta va por encima en $(0,3)$ , así que el integrando es $(3-x)-f(x)$ . Si restas al revés obtienes $-\frac{27}{4}$ y un área negativa, que no existe.