Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2013 · Junio · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Sea

g : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función definida por

g(x) = \ln\bigl(x^{2}+1\bigr)

(donde

\ln

denota el logaritmo neperiano). Calcula la primitiva de

g

cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;u = \ln(x^{2}+1), \ dv = dx: \quad \int\ln(x^{2}+1)dx = x\ln(x^{2}+1)-\int\frac{2x^{2}}{x^{2}+1}dx\;}

\boxed{\;\frac{2x^{2}}{x^{2}+1} = 2-\frac{2}{x^{2}+1} \;\Longrightarrow\; \int = 2x-2\arctan x\;}

\boxed{\;G(x) = x\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)-2x+2\arctan x+K; \qquad G(0) = 0 \Rightarrow K = 0\;}

\boxed{\;G(x) = x\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)-2x+2\arctan x\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Integración por partes con

u = \ln(x^{2}+1)

dv = dx

(lo único que sabemos integrar es

dx

).

Al aplicarla aparece

\int\frac{2x^{2}}{x^{2}+1}\,dx

que es una racional con numerador y denominador del mismo grado: hay que dividir antes de integrar. Y el resto lleva a un arcotangente, no a un logaritmo:

\int\frac{dx}{x^{2}+1} = \arctan x

Desarrollo

Integración por partes.

u = \ln\bigl(x^{2}+1\bigr) \;\Longrightarrow\; du = \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx \qquad dv = dx \;\Longrightarrow\; v = x

\int\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)dx = x\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)-\int\frac{2x^{2}}{x^{2}+1}\,dx

La integral racional. Dividiendo (mismos grados):

\frac{2x^{2}}{x^{2}+1} = \frac{2\bigl(x^{2}+1\bigr)-2}{x^{2}+1} = 2-\frac{2}{x^{2}+1}

\int\frac{2x^{2}}{x^{2}+1}\,dx = 2x-2\arctan x

La familia de primitivas.

G(x) = x\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)-2x+2\arctan x+K

La condición del origen $(0,0)$ .

G(0) = 0\cdot\ln1-0+2\arctan 0+K = K = 0

G(x) = x\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)-2x+2\arctan x

Comprobación (derivando).

G'(x) = \ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+x\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}-2+\frac{2}{x^{2}+1}

= \ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+\frac{2x^{2}+2}{x^{2}+1}-2 = \ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+2-2 = \ln\bigl(x^{2}+1\bigr) \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El logaritmo va siempre en $u$ : es lo que no sabemos integrar pero sí derivar. Con $dv = dx$ se obtiene $v = x$ , y ahí empieza el ejercicio.

$\int\frac{2x^{2}}{x^{2}+1}dx$ no es un logaritmo: los grados coinciden, así que hay que dividir primero. Y lo que queda, $\int\frac{dx}{x^{2}+1}$ , es arcotangente, porque $x^{2}+1$ no tiene raíces reales.

Aquí la constante sale $K = 0$ porque los tres términos se anulan en $x=0$ . Aun así, escribe el $+K$ y justifícalo: forma parte de lo que se evalúa.