Derivadas y aplicaciones

a) La asíntota horizontal se busca donde el dominio lo permite, es decir, en $x \to +\infty$:$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = a + \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^{2}}$$El límite restante es una indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$; por L'Hôpital,$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^{2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2x^{2}} = 0$$Luego $\lim_{x\to+\infty} f(x) = a$, y la asíntota horizontal es la recta $y = a$. Para que sea $y = 1$:$$a = 1$$b) Con $a = 0$ queda $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x^{2}}$. Derivamos como cociente:$$f'(x) = \frac{\dfrac{1}{x}\cdot x^{2} - \ln(x)\cdot 2x}{x^{4}} = \frac{x\bigl(1 - 2\ln(x)\bigr)}{x^{4}} = \frac{1 - 2\ln(x)}{x^{3}}$$En el dominio $(0,+\infty)$ se cumple $x^{3} > 0$, así que el signo de $f'$ es el del numerador:$$1 - 2\ln(x) > 0 \;\Longleftrightarrow\; \ln(x) < \frac{1}{2} \;\Longleftrightarrow\; x < e^{1/2} = \sqrt{e}$$El único punto crítico es $f'(x) = 0 \Longleftrightarrow x = \sqrt{e} \approx 1{,}65$. Resumiendo el signo:$$\begin{array}{c|c|c} x & (0,\ \sqrt{e}) & (\sqrt{e},\ +\infty) \\ \hline f'(x) & + & - \\ \hline f(x) & \text{creciente} & \text{decreciente} \end{array}$$Como $f'$ pasa de positiva a negativa, en $x = \sqrt{e}$ hay un máximo relativo. Su valor:$$f(\sqrt{e}) = \frac{\ln\bigl(e^{1/2}\bigr)}{\bigl(e^{1/2}\bigr)^{2}} = \frac{1/2}{e} = \frac{1}{2e} \approx 0{,}18$$No hay mínimos relativos: $f'$ solo se anula una vez y no cambia de signo en ningún otro punto.

Detalle que redondea la respuesta: al ser el único extremo y ser $f$ creciente antes y decreciente después, el máximo es también absoluto en $(0,+\infty)$; por la izquierda $\lim_{x\to 0^{+}} f(x) = -\infty$ (asíntota vertical $x=0$) y por la derecha $f \to 0$.