Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2009 · Reserva 6 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula un número positivo

a

, menor que $4$ , para que el recinto limitado por la parábola de ecuación

\;y = x^{2}\;

y las dos rectas de ecuaciones

\;y = 4\;

\;y = a\;

tenga un área de

\dfrac{28}{3}

unidades cuadradas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;y = x^{2} \Rightarrow x = \pm\sqrt y, \quad \text{anchura} = 2\sqrt y\;}

\boxed{\;A(a) = \int_{a}^{4}2\,y^{1/2}dy = \frac43\bigl(8-a^{3/2}\bigr) = \frac{32}{3}-\frac43 a^{3/2}\;}

\boxed{\;\frac{32}{3}-\frac43 a^{3/2} = \frac{28}{3} \;\Longrightarrow\; a^{3/2} = 1\;}

\boxed{\;a = 1 \quad (0<a<4 \ \checkmark)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El recinto está limitado por dos rectas horizontales, así que sale mucho más cómodo integrar respecto de $y$ : para cada altura

y

, la anchura entre las dos ramas de la parábola es

y = x^{2} \;\Longrightarrow\; x = \pm\sqrt y \;\Longrightarrow\; \text{anchura} = 2\sqrt y

A(a) = \int_{a}^{4} 2\sqrt y\,dy

Es un problema de área inverso: se plantea

A(a)

y se resuelve

A(a) = \frac{28}{3}

Desarrollo

La anchura de la franja. Despejando

x

en la parábola:

x = \pm\sqrt y \;\Longrightarrow\; \text{anchura}(y) = \sqrt y-\bigl(-\sqrt y\bigr) = 2\sqrt y

El área en función de $a$ .

A(a) = \int_{a}^{4} 2\,y^{1/2}\,dy = 2\left[\frac23 y^{3/2}\right]_{a}^{4} = \frac43\left(4^{3/2}-a^{3/2}\right)

Con

4^{3/2} = 8

A(a) = \frac43\bigl(8-a^{3/2}\bigr) = \frac{32}{3}-\frac43\,a^{3/2}

Imponemos el área.

\frac{32}{3}-\frac43\,a^{3/2} = \frac{28}{3} \;\Longrightarrow\; \frac43\,a^{3/2} = \frac{32-28}{3} = \frac43

a^{3/2} = 1 \;\Longrightarrow\; a = 1

(Cumple $0<a<4$ $\checkmark$ )

Comprobación.

A(1) = \frac{32}{3}-\frac43\cdot1 = \frac{32-4}{3} = \frac{28}{3} \;\checkmark

Comprobación alternativa, integrando en $x$ . Con

a = 1

, la recta

y=1

corta la parábola en

x = \pm1

y la recta

y=4

x = \pm2

A = \underbrace{\int_{-2}^{2}\bigl(4-x^{2}\bigr)dx}_{\text{entre } y=4 \text{ y la parábola}}-\underbrace{\int_{-1}^{1}\bigl(1-x^{2}\bigr)dx}_{\text{entre } y=1 \text{ y la parábola}}

Calculando cada una:

\int_{-2}^{2}\bigl(4-x^{2}\bigr)dx = \left[4x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-2}^{2} = \frac{32}{3} \qquad \int_{-1}^{1}\bigl(1-x^{2}\bigr)dx = \frac43

A = \frac{32}{3}-\frac43 = \frac{28}{3} \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con el recinto limitado por rectas horizontales, integra en $y$ : la anchura de cada franja es $x_{\text{der}}-x_{\text{izq}} = 2\sqrt y$ . Evitas partir la integral.

No olvides el factor 2: la parábola tiene dos ramas. Integrar solo $\sqrt y$ da la mitad del área, un error muy frecuente.

Comprueba que el valor hallado cumple la restricción del enunciado ( $0<a<4$ ). Y si te sobra tiempo, verifica integrando en $x$ como resta de dos áreas: debe dar lo mismo.