Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2020 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 2. Considera la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(t) = \frac{1}{1 + e^{t}}

a) [1,5 puntos] Calcula

\displaystyle\int f(t)\,dt

. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $x = 1 + e^{t}$ .)

b) [1 punto] Se define

\displaystyle g(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt

. Calcula

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{g(x)}{x}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \int\frac{dt}{1+e^{t}} = \int\frac{dx}{x(x-1)} = \ln|x-1| - \ln|x| + C = t - \ln\bigl(1+e^{t}\bigr) + C\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \lim_{x\to 0}\frac{g(x)}{x} \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to 0} f(x) = f(0) = \frac{1}{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) hay que seguir la sugerencia. Con

x = 1 + e^{t}

se tiene

dx = e^{t}\,dt

, y como

e^{t} = x - 1

, resulta

dt = \dfrac{dx}{x-1}

. La integral se convierte en una racional que se descompone en fracciones simples.

En b) aparece una indeterminación

\frac{0}{0}

(porque

g(0) = 0

). Se resuelve con L'Hôpital, y aquí la derivada del numerador la da el Teorema Fundamental del Cálculo:

g'(x) = f(x)

. No hace falta usar la primitiva del apartado a) para nada.

Desarrollo

a) El cambio de variable.

x = 1 + e^{t} \;\Longrightarrow\; dx = e^{t}\,dt, \qquad e^{t} = x - 1 \;\Longrightarrow\; dt = \frac{dx}{x - 1}

\int\frac{dt}{1 + e^{t}} = \int\frac{1}{x}\cdot\frac{dx}{x-1} = \int\frac{dx}{x\,(x-1)}

Fracciones simples.

\frac{1}{x(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} \;\Longrightarrow\; 1 = A(x-1) + Bx

x = 0: \; 1 = -A \Rightarrow A = -1 \qquad x = 1: \; 1 = B \Rightarrow B = 1

\int\frac{dx}{x(x-1)} = \int\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}\right)dx = \ln|x-1| - \ln|x| + C

Deshaciendo el cambio. Como

x - 1 = e^{t}

x = 1 + e^{t} > 0

\int f(t)\,dt = \ln\bigl(e^{t}\bigr) - \ln\bigl(1 + e^{t}\bigr) + C = t - \ln\bigl(1 + e^{t}\bigr) + C

Comprobación (derivando):

\frac{d}{dt}\Bigl[t - \ln(1+e^{t})\Bigr] = 1 - \frac{e^{t}}{1+e^{t}} = \frac{1 + e^{t} - e^{t}}{1+e^{t}} = \frac{1}{1+e^{t}} \quad \checkmark

b) El límite. Primero se identifica la indeterminación:

g(0) = \int_{0}^{0} f(t)\,dt = 0 \;\Longrightarrow\; \lim_{x\to 0}\frac{g(x)}{x} = \frac{0}{0}

Por el Teorema Fundamental del Cálculo,

g

es derivable y

g'(x) = f(x) = \frac{1}{1 + e^{x}}

Aplicando L'Hôpital:

\lim_{x\to 0}\frac{g(x)}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{g'(x)}{1} = f(0) = \frac{1}{1 + e^{0}} = \frac{1}{2}

(El límite es, por definición, $g'(0)$ : la derivada de $g$ en $0$ , que vale $f(0) = \tfrac12$ .)

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Consejo

Al hacer un cambio de variable no basta con sustituir la $t$ del integrando: hay que traducir también el $dt$ . Aquí $dt = \frac{dx}{x-1}$ , y ese factor extra es el que convierte la integral en racional. Olvidarlo da un resultado completamente distinto.

Y en b) resiste la tentación de usar la primitiva del apartado anterior: el Teorema Fundamental dice que $g'(x) = f(x)$ directamente, sin calcular nada. Es exactamente para lo que está pensado el apartado — y también se puede ver como que el límite es la definición de $g'(0)$ .