Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2014 · Junio · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Se desea construir un depósito en forma de cilindro recto, con base circular y sin tapadera, que tenga una capacidad de

125

^{3}

. Halla el radio de la base y la altura que debe tener el depósito para que la superficie sea mínima.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\pi r^{2}h = 125 \;\Longrightarrow\; h = \frac{125}{\pi r^{2}}; \qquad S = \pi r^{2}+2\pi r h \ \ (\text{sin tapa})\;}

\boxed{\;S(r) = \pi r^{2}+\frac{250}{r}; \qquad S'(r) = 2\pi r-\frac{250}{r^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; r^{3} = \frac{125}{\pi}\;}

\boxed{\;r = \sqrt[3]{\frac{125}{\pi}} = \frac{5}{\sqrt[3]{\pi}} \approx 3{,}41 \ \text{m}, \qquad h = r \approx 3{,}41 \ \text{m}\;}

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Estrategia

Optimización clásica del cilindro. La palabra clave es "sin tapadera": la superficie tiene una base, no dos.

S = \underbrace{\pi r^{2}}_{\text{base}}+\underbrace{2\pi r h}_{\text{lateral}}

Con la restricción

\pi r^{2}h = 125

se despeja

h

, se sustituye y se minimiza en

r

.

El resultado característico de este problema (sin tapa) es

h = r

; con tapa saldría

h = 2r

Desarrollo

Variables y restricción. Radio

r

y altura

h

(en metros), ambos positivos:

V = \pi r^{2}h = 125 \;\Longrightarrow\; h = \frac{125}{\pi r^{2}}

La superficie (sin tapadera).

S = \pi r^{2}+2\pi r h

En una sola variable.

S(r) = \pi r^{2}+2\pi r\cdot\frac{125}{\pi r^{2}} = \pi r^{2}+\frac{250}{r}, \qquad r>0

Derivada y punto crítico.

S'(r) = 2\pi r-\frac{250}{r^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; 2\pi r^{3} = 250 \;\Longrightarrow\; r^{3} = \frac{125}{\pi}

r = \sqrt[3]{\frac{125}{\pi}} = \frac{5}{\sqrt[3]{\pi}} \approx 3{,}41 \ \text{m}

Es mínimo.

S''(r) = 2\pi+\frac{500}{r^{3}} > 0 \quad \text{para } r>0 \;\Longrightarrow\; \textbf{mínimo}

La altura.

h = \frac{125}{\pi r^{2}}

Como

\dfrac{125}{\pi} = r^{3}

en el óptimo, basta sustituirlo:

h = \frac{125/\pi}{r^{2}} = \frac{r^{3}}{r^{2}} = r \approx 3{,}41 \ \text{m}

\textbf{La altura coincide con el radio}

La superficie mínima.

S = \pi r^{2}+\frac{250}{r} \approx 36{,}61+73{,}23 = 109{,}84 \ \text{m}^{2}

Comprobación del volumen.

\;\pi\cdot 3{,}41^{2}\cdot 3{,}41 \approx 125

^{3}

\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Sin tapadera" $\Rightarrow$ una sola base: $S = \pi r^{2}+2\pi rh$ . Si añades la tapa, el óptimo pasa a ser $h = 2r$ y toda la respuesta cambia. Es la palabra decisiva del enunciado.

No sustituyas $\pi$ por $3{,}14$ hasta el final: trabajando en exacto, $r^{3} = \frac{125}{\pi}$ y la relación $h = r$ sale limpia. Con decimales esa simplificación se pierde de vista.

El truco para $h$ : usa $r^{3} = \frac{125}{\pi}$ en $h = \frac{125}{\pi r^{2}}$ y obtienes $h = r$ sin calculadora. Si te sale otra cosa, revisa la derivada.