Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2012 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Sea

I = \int_{0}^{1}\frac{x}{1+\sqrt{1-x}}\,dx

a) [1,75 puntos] Expresa la integral

I

aplicando el cambio de variable

t = \sqrt{1-x}

.

b) [0,75 puntos] Calcula el valor de

I

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;t = \sqrt{1-x}: \quad x = 1-t^{2}, \quad dx = -2t\,dt\;}

\boxed{\;\text{Límites}: \ x=0 \to t=1, \quad x=1 \to t=0\;}

\boxed{\;\text{a) } I = \int_{0}^{1}\frac{1-t^{2}}{1+t}\,2t\,dt = \int_{0}^{1}2t\,(1-t)\,dt\;}

\boxed{\;\text{b) } I = \left[t^{2}-\frac{2t^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 1-\frac23 = \frac13\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una integral definida, así que al cambiar de variable hay que cambiar también los límites (o deshacer el cambio al final; aquí haremos lo primero, que es lo que pide el enunciado).

t = \sqrt{1-x} \;\Longrightarrow\; t^{2} = 1-x \;\Longrightarrow\; x = 1-t^{2}, \quad dx = -2t\,dt

x = 0 \;\Longrightarrow\; t = 1 \qquad x = 1 \;\Longrightarrow\; t = 0

(Los límites se invierten: el signo menos del $dx$ se compensa al darles la vuelta.)

Y el detalle clave:

\;\dfrac{1-t^{2}}{1+t} = \dfrac{(1-t)(1+t)}{1+t} = 1-t

, así que la integral resultante es polinómica.

Desarrollo

a) El cambio de variable.

t = \sqrt{1-x} \;\;(t\geq0) \;\Longrightarrow\; x = 1-t^{2}, \qquad dx = -2t\,dt

Los límites.

x = 0 \;\Longrightarrow\; t = \sqrt{1} = 1 \qquad\qquad x = 1 \;\Longrightarrow\; t = \sqrt{0} = 0

Sustituyendo.

I = \int_{t=1}^{t=0}\frac{1-t^{2}}{1+t}\,\bigl(-2t\,dt\bigr) = \int_{0}^{1}\frac{1-t^{2}}{1+t}\,2t\,dt

(Al invertir los límites cambia el signo, que se cancela con el $-$ del $dx$ .)

Simplificando la fracción.

\frac{1-t^{2}}{1+t} = \frac{(1-t)(1+t)}{1+t} = 1-t

\boxed{I = \int_{0}^{1}2t\,(1-t)\,dt}

b) El valor.

I = \int_{0}^{1}\bigl(2t-2t^{2}\bigr)dt = \left[t^{2}-\frac{2t^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 1-\frac23 = \frac{1}{3}

I = \frac{1}{3} \approx 0{,}333

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En una integral definida con cambio de variable, cambia también los límites. Aquí se invierten ( $1$ y $0$ ), y esa inversión cancela el signo menos de $dx = -2t\,dt$ : hay que justificarlo, no dejarlo "colgando".

Simplifica $\frac{1-t^{2}}{1+t} = 1-t$ antes de integrar. Es una diferencia de cuadrados, no hace falta dividir ni descomponer.

Alternativa válida: no cambiar los límites, integrar en $t$ , deshacer el cambio y evaluar en $x$ . Lo que no vale es mezclar límites en $x$ con primitiva en $t$ .