Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2017 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Sea

f

la función definida como

f(x) = (x+2)\ln(x)

para

x > 0

, donde

\ln(x)

representa al logaritmo neperiano de

x

.

a) [1,75 puntos] Calcula

\displaystyle\int f(x)\,dx

b) [0,75 puntos] Encuentra la primitiva de

f

cuya gráfica pasa por el punto

(1,0)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;u = \ln x, \; dv = (x+2)dx \;\Longrightarrow\; v = \frac{x^{2}}{2} + 2x\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \int (x+2)\ln x\,dx = \left(\frac{x^{2}}{2}+2x\right)\ln x - \frac{x^{2}}{4} - 2x + C\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad F(1) = -\tfrac94 + C = 0 \Rightarrow C = \tfrac94: \quad F(x) = \left(\tfrac{x^{2}}{2}+2x\right)\ln x - \tfrac{x^{2}}{4} - 2x + \tfrac94\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Polinomio por logaritmo: integración por partes con

u = \ln x

(el logaritmo se deriva, no se integra) y

dv = (x+2)dx

.

Al derivar

u

aparece

\tfrac1x

, que se simplifica con el

v

polinómico y deja una integral inmediata.

En b), la condición

F(1) = 0

es especialmente cómoda porque

\ln 1 = 0

y todo el término logarítmico desaparece.

Desarrollo

a) Integración por partes.

u = \ln x \;\Longrightarrow\; du = \frac{dx}{x}

dv = (x+2)\,dx \;\Longrightarrow\; v = \frac{x^{2}}{2} + 2x

\int (x+2)\ln x\,dx = \left(\frac{x^{2}}{2} + 2x\right)\ln x - \int\left(\frac{x^{2}}{2} + 2x\right)\frac{dx}{x}

La integral que queda se simplifica dividiendo entre

x

\int\left(\frac{x}{2} + 2\right)dx = \frac{x^{2}}{4} + 2x

\int f(x)\,dx = \left(\frac{x^{2}}{2} + 2x\right)\ln x - \frac{x^{2}}{4} - 2x + C

Comprobación (derivando):

\frac{d}{dx}\left[\left(\frac{x^{2}}{2}+2x\right)\ln x\right] = (x+2)\ln x + \left(\frac{x^{2}}{2}+2x\right)\frac1x = (x+2)\ln x + \frac{x}{2} + 2

y al restar la derivada de

\frac{x^{2}}{4}+2x

, que es

\frac{x}{2}+2

, queda exactamente

(x+2)\ln x\;\checkmark

b) La primitiva por $(1,0)$ . Imponemos

F(1) = 0

, teniendo en cuenta que

\ln 1 = 0

F(1) = \left(\frac12 + 2\right)\cdot 0 - \frac14 - 2 + C = -\frac94 + C

-\frac94 + C = 0 \;\Longrightarrow\; C = \frac{9}{4}

F(x) = \left(\frac{x^{2}}{2} + 2x\right)\ln x - \frac{x^{2}}{4} - 2x + \frac{9}{4}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con un logaritmo multiplicando, elige siempre $u = \ln x$ : al derivarlo desaparece y queda una integral polinómica. Tomarlo como $dv$ obligaría a integrar el logaritmo primero, que es dar un rodeo.

Al calcular $\int \frac{v}{x}dx$ , divide término a término: $\frac{x^{2}/2 + 2x}{x} = \frac{x}{2} + 2$ . Ese es el paso que hace inmediata la segunda integral, y es donde el método "funciona".

En b), $\ln 1 = 0$ anula todo el término logarítmico: la constante sale de los términos polinómicos solos, $-\tfrac14 - 2 = -\tfrac94$ . Aprovecha esa simplificación en vez de sustituir a ciegas.