Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2019 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Se sabe que la gráfica de la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

, dada por

f(x) = 2x^{3} + a\,x^{2} + b\,x + c

tiene un punto de inflexión para

x = 1

y que la ecuación de la recta tangente a dicha gráfica en ese punto es

y = -6x + 6

. Calcula

a

b

c

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f''(1) = 12 + 2a = 0 \;\Longrightarrow\; a = -6\;}

\boxed{\;f'(1) = 6 + 2a + b = -6 \;\Longrightarrow\; b = 0; \qquad f(1) = 0 \;\Longrightarrow\; c = 4\;}

\boxed{\;a = -6, \quad b = 0, \quad c = 4 \;\Longrightarrow\; f(x) = 2x^{3} - 6x^{2} + 4\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres incógnitas, tres condiciones, y conviene aplicarlas en cascada porque cada una involucra una derivada distinta:

Inflexión en $x=1$ : $f''(1) = 0$ . Solo aparece $a$ $\Rightarrow$ se despeja de inmediato.
Pendiente de la tangente: $f'(1) = -6$ . Con $a$ ya conocido, se despeja $b$ .
La tangente pasa por el punto de la gráfica: $f(1) = -6\cdot 1 + 6 = 0$ . Se despeja $c$ .

De ese modo no hay que resolver ningún sistema.

Desarrollo

Derivadas.

f'(x) = 6x^{2} + 2a\,x + b, \qquad f''(x) = 12x + 2a

Condición 1: inflexión en $x = 1$ .

f''(1) = 12 + 2a = 0 \;\Longrightarrow\; a = -6

(Es inflexión de verdad: $f'''(x) = 12 \neq 0$ , así que $f''$ cambia de signo al pasar por $x=1$ .)

Condición 2: la pendiente de la tangente. La recta

y = -6x+6

tiene pendiente

-6

f'(1) = 6 + 2a + b = -6

Con

a = -6

6 - 12 + b = -6 \;\Longrightarrow\; b = 0

Condición 3: el punto de tangencia. La recta vale en

x=1

y = -6 + 6 = 0 \;\Longrightarrow\; f(1) = 0

2 + a + b + c = 0 \;\Longrightarrow\; 2 - 6 + 0 + c = 0 \;\Longrightarrow\; c = 4

a = -6, \qquad b = 0, \qquad c = 4

La función es

\;f(x) = 2x^{3} - 6x^{2} + 4

.

Comprobación.

f(1) = 2 - 6 + 4 = 0 \quad \checkmark

f'(x) = 6x^{2} - 12x \;\Longrightarrow\; f'(1) = 6 - 12 = -6 \quad \checkmark

f''(x) = 12x - 12 \;\Longrightarrow\; f''(1) = 0 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Resuelve en cascada, no montando un sistema $3\times 3$ : la condición de inflexión solo contiene $a$ , la de pendiente añade $b$ y la del punto añade $c$ . Cada paso usa el anterior y no hace falta ninguna eliminación.

"La recta tangente en ese punto es $y=-6x+6$ " son dos datos: la pendiente ( $-6$ ) y la ordenada del punto, que hay que calcular evaluando la recta en $x=1$ : $f(1) = 0$ . Es la condición que más se olvida.

Comprobar que $f'''\neq 0$ no es imprescindible, pero cierra el argumento: garantiza que $x=1$ es un punto de inflexión real y no un cero de $f''$ sin cambio de curvatura.