Ejercicio 1 (bloque A). Sea f la función continua definida por f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^{2} + 1}{x - 1} & \text{si } x \leq 0 \\[10pt] \dfrac{ax + b}{(x + 1)^{2}} & \text{si } x > 0 \end{cases} a) [1,5 puntos] Determina a y b sabiendo que f tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = 2. b) [1 punto] Para a = 2 y b = -1, estudia la derivabilidad de f.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2022 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 1 (bloque A). Sea

f

la función continua definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^{2} + 1}{x - 1} & \text{si } x \leq 0 \\[10pt] \dfrac{ax + b}{(x + 1)^{2}} & \text{si } x > 0 \end{cases}

a) [1,5 puntos] Determina

a

b

sabiendo que

f

tiene un extremo relativo en el punto de abscisa

x = 2

.

b) [1 punto] Para

a = 2

b = -1

, estudia la derivabilidad de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad a = 2, \qquad b = -1\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad f'(0^{-}) = -1 \neq f'(0^{+}) = 4 \;\Longrightarrow\; f \text{ derivable en } \mathbb{R} - \{0\}\;}

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Estrategia

Hay dos condiciones y dos incógnitas, pero vienen de sitios distintos:

La continuidad en $x = 0$ (que el enunciado da por sentada) iguala los dos trozos y despeja $b$ de inmediato.
El extremo relativo en $x = 2$ obliga a que $f'(2) = 0$ ; como $x=2$ cae en el segundo trozo, solo hay que derivar esa expresión.

En b) la derivabilidad hay que estudiarla solo en el punto de empalme: en el resto del dominio

f

es una función racional con denominador no nulo, y por tanto derivable sin más discusión. Se comparan las derivadas laterales en

x = 0

Desarrollo

a) Continuidad en $x = 0$ .

\lim_{x\to 0^{-}} f(x) = f(0) = \frac{0 + 1}{0 - 1} = -1, \qquad \lim_{x\to 0^{+}} f(x) = \frac{a\cdot 0 + b}{(0+1)^{2}} = b

Como

f

es continua,

\;b = -1

.

Extremo relativo en $x = 2$ . Ese punto está en el segundo trozo. Derivando por la regla del cociente:

g(x) = \frac{ax + b}{(x+1)^{2}}, \qquad g'(x) = \frac{a\,(x+1)^{2} - (ax+b)\cdot 2(x+1)}{(x+1)^{4}}

Simplificando un factor

(x+1)

g'(x) = \frac{a\,(x+1) - 2\,(ax + b)}{(x+1)^{3}} = \frac{-ax + a - 2b}{(x+1)^{3}}

Imponiendo

g'(2) = 0

(el denominador

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no se anula):

-2a + a - 2b = 0 \;\Longrightarrow\; -a - 2b = 0 \;\Longrightarrow\; a = -2b

Con

b = -1

a = 2, \qquad b = -1

(Comprobación de que es realmente un extremo: $g'(x) = \dfrac{-2x + 4}{(x+1)^{3}}$ , positiva para $0 < x < 2$ y negativa para $x > 2$ , luego en $x=2$ hay un máximo relativo, con $g(2) = \frac{3}{9} = \frac13$ .)

b) Derivabilidad. Con

a = 2

b = -1

f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^{2}+1}{x-1} & \text{si } x \leq 0 \\[10pt] \dfrac{2x-1}{(x+1)^{2}} & \text{si } x > 0 \end{cases}

Fuera del empalme. Para

x < 0

el denominador

x - 1

nunca se anula (vale

-1

en el peor caso), y para

x > 0

tampoco lo hace

(x+1)^{2}

. En ambos trozos

f

es una función racional, luego derivable.

En $x = 0$ . Derivada por la izquierda:

\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2}+1}{x-1}\right) = \frac{2x\,(x-1) - \bigl(x^{2}+1\bigr)}{(x-1)^{2}} = \frac{x^{2} - 2x - 1}{(x-1)^{2}}

f'(0^{-}) = \frac{0 - 0 - 1}{1} = -1

Derivada por la derecha, usando la fórmula ya obtenida con

a=2

b=-1

f'(0^{+}) = \frac{-a\cdot 0 + a - 2b}{(0+1)^{3}} = a - 2b = 2 + 2 = 4

Conclusión.

f'(0^{-}) = -1 \neq 4 = f'(0^{+})

Las derivadas laterales existen pero son distintas, así que

f

no es derivable en $x = 0$ : la gráfica presenta ahí un punto anguloso. En todo lo demás sí lo es:

f \text{ es derivable en } \mathbb{R} - \{0\}

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Consejo

Los dos datos del apartado a) están en sitios distintos: la continuidad actúa en $x=0$ y da $b$ ; el extremo actúa en $x=2$ y da $a$ . Si intentas usar los dos en el mismo punto no sale nada. Y fíjate en que $x=2$ pertenece al segundo trozo: derivar la expresión equivocada es el error más caro aquí.

Para la derivabilidad, no basta con decir "es continua, luego es derivable": la continuidad es necesaria pero no suficiente. Hay que calcular las dos derivadas laterales y compararlas, que es exactamente lo que aquí falla.