Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2023 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 3 (bloque A). Sabiendo que

F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

F(x) = e^{x^{2}}

es una primitiva de

f

:

a) [1,25 puntos] Comprueba que

f

es creciente.

b) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función

f

, el eje de abscisas y la recta

x = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = F'(x) = 2x\,e^{x^{2}}, \qquad f'(x) = 2e^{x^{2}}\bigl(1 + 2x^{2}\bigr) > 0 \;\Longrightarrow\; f \text{ es creciente}\;}

\boxed{\;A = \int_{0}^{1} 2x\,e^{x^{2}}\,dx = e - 1 \approx 1{,}72 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Que

F

sea una primitiva de

f

significa exactamente

F' = f

. Así que lo primero es derivar

F

para conocer

f

; a partir de ahí, todo es rutina.

En a), "creciente" se demuestra viendo que

f' > 0

, es decir,

F'' > 0

.

En b) ocurre algo que ahorra trabajo: la integral de

f

es, por definición,

F

. No hace falta buscar ninguna primitiva —de hecho

\int e^{x^{2}}dx

no es elemental, pero

\int 2xe^{x^{2}}dx

sí—: basta con evaluar

F

en los extremos. Lo único que hay que pensar es cuáles son esos extremos.

Desarrollo

Identificación de $f$ .

f(x) = F'(x) = 2x\,e^{x^{2}}

a) $f$ es creciente.

f'(x) = 2e^{x^{2}} + 2x\cdot 2x\,e^{x^{2}} = 2e^{x^{2}}\bigl(1 + 2x^{2}\bigr)

Los dos factores son estrictamente positivos para todo

x \in \mathbb{R}

: la exponencial nunca se anula ni es negativa, y

1 + 2x^{2} \geq 1

. Por tanto

f'(x) > 0 \quad \text{para todo } x \in \mathbb{R}

f

es estrictamente creciente en todo

\mathbb{R}

.

b) El recinto. Los tres lados son: la gráfica de

f

, el eje

OX

y la recta vertical

x = 1

. El corte de

f

con el eje

OX

2x\,e^{x^{2}} = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = 0

(único, porque la exponencial nunca se anula; y era previsible, porque una función estrictamente creciente corta al eje como mucho una vez). Así que el recinto va de

x = 0

x = 1

.

Signo. En

(0,1)

se tiene

f(x) = 2xe^{x^{2}} > 0

: la gráfica está por encima del eje, así que el área es directamente la integral.

Cálculo.

A = \int_{0}^{1} 2x\,e^{x^{2}}\,dx = \Bigl[e^{x^{2}}\Bigr]_{0}^{1} = e^{1} - e^{0} = e - 1

A = e - 1 \approx 1{,}718 \ \text{unidades cuadradas}

(Nótese que no ha habido que integrar nada: la primitiva la daba el enunciado. Si se hubiera querido calcular, el cambio $u = x^{2}$ , $du = 2x\,dx$ la resuelve en una línea.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

" $F$ es una primitiva de $f$ " quiere decir $F' = f$ , no al revés. Si confundes el sentido e integras $e^{x^{2}}$ te encuentras con una integral que no tiene primitiva elemental y el ejercicio se vuelve imposible. Esa es justamente la señal de que has invertido los papeles.

En b), el límite inferior no lo da el enunciado: hay que encontrarlo viendo dónde corta $f$ al eje de abscisas. Y comprueba el signo antes de integrar; si el recinto quedara por debajo del eje, la integral saldría negativa y habría que cambiarle el signo para dar un área.