Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2021 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 2 (bloque A). Considera la función

f

definida por

f(x) = \frac{x^{2} - 10}{x^{2} + 2x - 3}

(para

x \neq -3

x \neq 1

).

a) [1,25 puntos] Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de

f

.

b) [1,25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{Verticales } x = -3 \text{ y } x = 1; \quad \text{horizontal } y = 1\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad f'(x) = \frac{2(x+2)(x+5)}{\bigl(x^{2}+2x-3\bigr)^{2}}\;}

\boxed{\;\text{Creciente en } (-\infty,-5), \, (-2,1) \text{ y } (1,+\infty); \quad \text{decreciente en } (-5,-3) \text{ y } (-3,-2)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero es factorizar el denominador:

x^{2}+2x-3 = (x+3)(x-1)

, que confirma los dos puntos excluidos del enunciado. Para cada uno hay que comprobar que el numerador no se anula ahí, porque si se anulara habría una discontinuidad evitable en lugar de una asíntota.

Numerador y denominador tienen el mismo grado, así que hay asíntota horizontal (el cociente de los coeficientes principales) y no puede haber oblicua.

En b), la derivada del cociente tiene un numerador que se factoriza limpiamente, y el denominador es un cuadrado (siempre positivo), así que el signo lo decide solo el numerador. Eso sí: los intervalos hay que partirlos también en los puntos excluidos del dominio.

Desarrollo

Factorización del denominador.

x^{2} + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)

a) Asíntotas verticales. Los candidatos son

x = -3

x = 1

. Evaluando el numerador:

(-3)^{2} - 10 = -1 \neq 0, \qquad 1^{2} - 10 = -9 \neq 0

Ninguno se anula, así que ambas son asíntotas verticales:

x = -3 \qquad \text{y} \qquad x = 1

Asíntota horizontal. Numerador y denominador son ambos de grado

2

, luego el límite es el cociente de los coeficientes principales:

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{2}-10}{x^{2}+2x-3} = \frac{1}{1} = 1

Asíntota horizontal $y = 1$ en los dos extremos.

Asíntotas oblicuas. No hay: al existir asíntota horizontal, quedan descartadas.

b) Derivada. Por la regla del cociente:

f'(x) = \frac{2x\bigl(x^{2}+2x-3\bigr) - \bigl(x^{2}-10\bigr)(2x+2)}{\bigl(x^{2}+2x-3\bigr)^{2}}

Desarrollando el numerador:

2x^{3} + 4x^{2} - 6x - \bigl(2x^{3} + 2x^{2} - 20x - 20\bigr) = 2x^{2} + 14x + 20

= 2\bigl(x^{2} + 7x + 10\bigr) = 2\,(x+2)(x+5)

f'(x) = \frac{2\,(x+2)(x+5)}{\bigl(x^{2}+2x-3\bigr)^{2}}

Signo. El denominador es un cuadrado, positivo en todo el dominio, así que el signo de

f'

es el de

(x+2)(x+5)

f'(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = -5 \;\text{ o }\; x = -2

Colocando en la recta real los puntos críticos (

-5

-2

) y los excluidos del dominio (

-3

1

En $(-\infty, -5)$ : ambos factores negativos, producto positivo $\Longrightarrow$ creciente
En $(-5, -3)$ : $(x+5) > 0$ y $(x+2) < 0$ , producto negativo $\Longrightarrow$ decreciente
En $(-3, -2)$ : igual signo que el anterior $\Longrightarrow$ decreciente
En $(-2, 1)$ : ambos positivos $\Longrightarrow$ creciente
En $(1, +\infty)$ : ambos positivos $\Longrightarrow$ creciente

Extremos relativos.

f(-5) = \frac{25 - 10}{25 - 10 - 3} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} \qquad\text{(máximo relativo)}

f(-2) = \frac{4 - 10}{4 - 4 - 3} = \frac{-6}{-3} = 2 \qquad\text{(mínimo relativo)}

(Detalle llamativo: el valor del máximo, $\frac{5}{4}$ , es menor que el del mínimo, $2$ . No es una contradicción: entre los dos hay una asíntota vertical ( $x=-3$ ), y la función se va a $\pm\infty$ por medio. Los extremos relativos son locales, no globales.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al escribir los intervalos de monotonía hay que partir también en los puntos que no están en el dominio. Decir "decreciente en $(-5,-2)$ " es incorrecto: en $x=-3$ la función ni siquiera existe, y hay que separar $(-5,-3)$ de $(-3,-2)$ . Lo mismo con $x=1$ dentro del tramo creciente de la derecha.

Y no te alarmes si el máximo relativo queda por debajo del mínimo relativo: con asíntotas verticales de por medio es perfectamente normal. "Relativo" significa local, y comparar valores de ramas separadas por una asíntota no tiene sentido.