Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Sea f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x) = \bigl(e^{a x} + b\bigr)\,x, \qquad \text{con } a \neq 0 Calcula a y b sabiendo que f tiene un extremo relativo en x = 0 y su gráfica, un punto de inflexión en el punto cuya abscisa es x = 1.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2016 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Sea

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

la función definida por

f(x) = \bigl(e^{a x} + b\bigr)\,x, \qquad \text{con } a \neq 0

Calcula

a

b

sabiendo que

f

tiene un extremo relativo en

x = 0

y su gráfica, un punto de inflexión en el punto cuya abscisa es

x = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = (ax+1)e^{ax} + b; \qquad f'(0) = 1 + b = 0 \;\Longrightarrow\; b = -1\;}

\boxed{\;f''(x) = a\,(ax+2)e^{ax}; \qquad f''(1) = a(a+2)e^{a} = 0 \;\Longrightarrow\; a = 0 \text{ o } a = -2\;}

\boxed{\;\text{Como } a\neq 0: \quad a = -2, \quad b = -1 \;\Longrightarrow\; f(x) = \bigl(e^{-2x}-1\bigr)x\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos condiciones para dos incógnitas:

Extremo relativo en $x=0$ : $f'(0) = 0$ .
Inflexión en $x=1$ : $f''(1) = 0$ .

Y se resuelven en cascada: al evaluar

f'

0

la exponencial vale

1

y todo se simplifica, dando

b

directamente. Después,

f''(1) = 0

da una ecuación solo en

a

.

Ojo al final: esa ecuación tiene dos soluciones, y el enunciado descarta una con la condición

a\neq 0

Desarrollo

Primera derivada (regla del producto):

f'(x) = a\,e^{ax}\cdot x + \bigl(e^{ax} + b\bigr) = \bigl(a x + 1\bigr)e^{ax} + b

Condición 1: $f'(0) = 0$ .

f'(0) = (0+1)\,e^{0} + b = 1 + b = 0 \;\Longrightarrow\; b = -1

Segunda derivada. Derivando

f'(x) = (ax+1)e^{ax} + b

f''(x) = a\,e^{ax} + (ax+1)\,a\,e^{ax} = a\,\bigl(a x + 2\bigr)e^{ax}

Condición 2: $f''(1) = 0$ .

a\,(a+2)\,e^{a} = 0

Como

e^{a} > 0

siempre:

a\,(a+2) = 0 \;\Longrightarrow\; a = 0 \quad \text{o} \quad a = -2

El enunciado exige

a \neq 0

, luego

a = -2, \qquad b = -1

f(x) = \bigl(e^{-2x} - 1\bigr)x

Comprobaciones.

f'(x) = (-2x+1)e^{-2x} - 1 \;\Longrightarrow\; f'(0) = 1 - 1 = 0 \quad \checkmark

f''(x) = -2\,(-2x+2)\,e^{-2x} \;\Longrightarrow\; f''(1) = -2\cdot 0\cdot e^{-2} = 0 \quad \checkmark

(Y son un extremo y una inflexión de verdad: $f''(0) = -2\cdot 2\cdot e^{0} = -4 < 0$ , así que en $x=0$ hay un máximo relativo; y $f'''(x) = 4(-2x+3)e^{-2x}$ con $f'''(1) = 4e^{-2} \neq 0$ , luego $f''$ cambia de signo en $x=1$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Impón las condiciones en orden: $f'(0)=0$ solo contiene $b$ (porque $e^{0}=1$ ), y una vez conocido, $f''(1)=0$ deja una ecuación limpia en $a$ . Plantear las dos a la vez es innecesariamente enrevesado.

Al derivar $(e^{ax}+b)x$ , saca $e^{ax}$ factor común: $f' = (ax+1)e^{ax} + b$ y $f'' = a(ax+2)e^{ax}$ . Con esa forma, el estudio de los ceros es inmediato porque la exponencial nunca se anula.

La condición $a \neq 0$ del enunciado no es decorativa: sirve para descartar una de las dos soluciones. Si $a$ fuese $0$ , la función sería $f(x) = (1+b)x$ , una recta, sin inflexiones ni extremos.