Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2019 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Dado un número real

a > 0

, considera la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

dada por

f(x) = x^{2} - ax

, y la recta

y = 2ax

. Determina

a

sabiendo que el área del recinto limitado por la gráfica de

f

y la recta anterior es

36

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;x^{2} - ax = 2ax \;\Longrightarrow\; x = 0,\; x = 3a; \qquad \text{la recta queda por encima}\;}

\boxed{\;A = \int_{0}^{3a}\bigl(3ax - x^{2}\bigr)dx = \frac{9a^{3}}{2}\;}

\boxed{\;\frac{9a^{3}}{2} = 36 \;\Longrightarrow\; a^{3} = 8 \;\Longrightarrow\; a = 2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Problema inverso de áreas con parámetro. El procedimiento es el habitual, pero todo queda en función de $a$ :

Cortes entre parábola y recta $\Rightarrow$ límites de integración (dependen de $a$ ).
Decidir quién va arriba dentro del recinto.
Integrar la diferencia y obtener el área como expresión en $a$ .
Igualar a $36$ y despejar.

El área resultará proporcional a

a^{3}

, así que la ecuación final es de tercer grado pero de solución inmediata.

Desarrollo

Puntos de corte.

x^{2} - ax = 2ax \;\Longrightarrow\; x^{2} - 3ax = 0 \;\Longrightarrow\; x\,(x - 3a) = 0

x = 0 \qquad \text{y} \qquad x = 3a

Como

a > 0

, el recinto está en el intervalo

[0,\, 3a]

.

¿Quién va arriba? En un punto interior, por ejemplo

x = a

\text{recta: } 2a\cdot a = 2a^{2} \qquad \text{parábola: } a^{2} - a^{2} = 0

Con

a>0

2a^{2} > 0

: la recta está por encima de la parábola. El integrando es recta

-

parábola.

Integral.

A = \int_{0}^{3a}\Bigl[2ax - \bigl(x^{2} - ax\bigr)\Bigr]dx = \int_{0}^{3a}\bigl(3ax - x^{2}\bigr)dx

= \left[\frac{3a\,x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3a} = \frac{3a\cdot 9a^{2}}{2} - \frac{27a^{3}}{3}

= \frac{27a^{3}}{2} - 9a^{3} = \frac{27a^{3} - 18a^{3}}{2} = \frac{9a^{3}}{2}

Ecuación del área.

\frac{9a^{3}}{2} = 36 \;\Longrightarrow\; 9a^{3} = 72 \;\Longrightarrow\; a^{3} = 8 \;\Longrightarrow\; a = 2

(única solución real, y positiva como exige el enunciado).

Comprobación. Con

a = 2

: parábola

y = x^{2} - 2x

, recta

y = 4x

, cortes en

x=0

x=6

A = \int_{0}^{6}\bigl(6x - x^{2}\bigr)dx = \left[3x^{2} - \frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{6} = 108 - 72 = 36 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No sustituyas $a$ por un número antes de integrar. Los límites de integración son $0$ y $3a$ : hay que integrar con el parámetro dentro y obtener $A(a) = \frac{9a^{3}}{2}$ . Ese es el planteamiento que se evalúa.

Determina quién va arriba evaluando en un punto interior, y hazlo con $a$ genérico (usando que $a>0$ ). Si restas al revés obtienes $-\frac{9a^{3}}{2} = 36$ , que no tiene solución positiva, y concluirías erróneamente que el problema no tiene respuesta.

Los "problemas inversos" de área siempre acaban en una ecuación sencilla —aquí, cúbica pura— porque están diseñados para que el número salga redondo. Si te sale algo horrible, revisa los cortes.