Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2017 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. Se considera la función

f

dada por

f(x) = \frac{-3x^{2}+2}{x-1} \qquad \text{para } x \neq 1

a) [1,5 puntos] Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de

f

.

b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = -3x - 3 - \frac{1}{x-1}\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{A.V.: } x = 1; \quad \text{A. oblicua: } y = -3x-3; \quad \text{sin horizontal}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad f'(x) = \frac{-(3x^{2}-6x+2)}{(x-1)^{2}}: \text{ crece en } \left(1-\tfrac{\sqrt3}{3},1\right)\cup\left(1,1+\tfrac{\sqrt3}{3}\right), \text{ decrece fuera}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Racional con el numerador de un grado más que el denominador: habrá asíntota oblicua y no horizontal.

Como siempre en estos casos, conviene dividir primero:

\frac{-3x^{2}+2}{x-1} = -3x - 3 - \frac{1}{x-1}

Con esa forma la oblicua se lee de un vistazo y la derivada es mucho más corta.

Desarrollo

La división.

-3x^{2} + 2 = (x-1)\,(-3x-3) - 1

(En efecto: $(x-1)(-3x-3) = -3x^{2} - 3x + 3x + 3 = -3x^{2}+3$ , y falta $-1$ .)

f(x) = -3x - 3 - \frac{1}{x-1}

a) Asíntota vertical. El denominador se anula en

x=1

, donde el numerador vale

-3+2 = -1 \neq 0

\lim_{x\to 1^{-}} f(x) = \frac{-1}{0^{-}} = +\infty, \qquad \lim_{x\to 1^{+}} f(x) = \frac{-1}{0^{+}} = -\infty

\textbf{Asíntota vertical: } x = 1

Horizontal: no hay (

f\to\mp\infty

\pm\infty

).

Oblicua. Con la descomposición, el resto

-\dfrac{1}{x-1}

tiende a

0

m = \lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x} = -3, \qquad n = \lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x) + 3x\bigr) = -3

\textbf{Asíntota oblicua: } y = -3x - 3

b) Monotonía. Derivando la forma descompuesta:

f'(x) = -3 + \frac{1}{(x-1)^{2}} = \frac{-3\,(x-1)^{2} + 1}{(x-1)^{2}}

Desarrollando el numerador:

-3\bigl(x^{2}-2x+1\bigr) + 1 = -3x^{2} + 6x - 2

f'(x) = \frac{-\bigl(3x^{2} - 6x + 2\bigr)}{(x-1)^{2}}

Puntos críticos. El denominador es positivo, así que basta anular el numerador:

3x^{2} - 6x + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{6 \pm \sqrt{36-24}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt3}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt3}{3}

x_{1} = 1 - \frac{\sqrt3}{3} \approx 0{,}42, \qquad x_{2} = 1 + \frac{\sqrt3}{3} \approx 1{,}58

Signo. La parábola

3x^{2}-6x+2

es positiva fuera de sus raíces y negativa entre ellas; como

f'

lleva el signo cambiado:

\text{Decreciente en } \left(-\infty,\, 1-\tfrac{\sqrt3}{3}\right)\cup\left(1+\tfrac{\sqrt3}{3},\, +\infty\right)

\text{Creciente en } \left(1-\tfrac{\sqrt3}{3},\, 1\right)\cup\left(1,\, 1+\tfrac{\sqrt3}{3}\right)

Extremos relativos.

f\left(1-\tfrac{\sqrt3}{3}\right) = -6 + 2\sqrt3 \approx -2{,}54 \quad (\text{mínimo relativo})

f\left(1+\tfrac{\sqrt3}{3}\right) = -6 - 2\sqrt3 \approx -9{,}46 \quad (\text{máximo relativo})

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Consejo

Divide antes de derivar: con $f = -3x-3-\frac{1}{x-1}$ la asíntota oblicua se lee sin límites y la derivada sale en una línea. La regla del cociente sobre la expresión original también funciona, pero cuesta bastante más.

El signo menos delante del paréntesis en $f'$ invierte el estudio: donde la parábola $3x^{2}-6x+2$ es positiva, $f'$ es negativa. Despistarse ahí da los intervalos al revés.

No olvides excluir $x=1$ al escribir los intervalos: la función no está definida ahí, así que el crecimiento son dos intervalos separados por la asíntota, no uno.