Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2018 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Halla los coeficientes

a

b

c

sabiendo que la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = x^{3} + a\,x^{2} + b\,x + c

tiene en

x = 1

un punto de derivada nula que no es extremo relativo y que la gráfica de

f

pasa por el punto

(1,1)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Derivada nula sin extremo} \;\Longrightarrow\; f'(1) = 0 \; \text{ y } \; f''(1) = 0\;}

\boxed{\;f''(1) = 6 + 2a = 0 \Rightarrow a = -3; \quad f'(1) = 0 \Rightarrow b = 3; \quad f(1) = 1 \Rightarrow c = 0\;}

\boxed{\;f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x = (x-1)^{3} + 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La expresión clave es "punto de derivada nula que no es extremo relativo". Un punto crítico que no es máximo ni mínimo solo puede ser un punto de inflexión con tangente horizontal, y eso obliga a dos condiciones a la vez:

f'(1) = 0 \qquad \text{y} \qquad f''(1) = 0

La segunda condición se justifica con el criterio de la segunda derivada: si fuera

f''(1) \neq 0

, en

x=1

habría un máximo (

f''<0

) o un mínimo (

f''>0

), en contra del enunciado.

Con la tercera condición,

f(1) = 1

, ya hay tres ecuaciones para tres incógnitas. Y se resuelven en cascada:

f''

solo contiene

a

, luego

f'

b

, y por último

f

c

Desarrollo

Derivadas.

f'(x) = 3x^{2} + 2a\,x + b, \qquad f''(x) = 6x + 2a

Condición 1: $f''(1) = 0$ (para que no sea extremo).

6 + 2a = 0 \;\Longrightarrow\; a = -3

Condición 2: $f'(1) = 0$ .

3 + 2a + b = 0 \;\Longrightarrow\; 3 - 6 + b = 0 \;\Longrightarrow\; b = 3

Condición 3: $f(1) = 1$ .

1 + a + b + c = 1 \;\Longrightarrow\; 1 - 3 + 3 + c = 1 \;\Longrightarrow\; c = 0

a = -3, \qquad b = 3, \qquad c = 0

La función es

f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x = (x-1)^{3} + 1

Verificación de que $x=1$ no es extremo.

f'''(x) = 6 \neq 0

Como la tercera derivada no se anula,

f''

cambia de signo en

x=1

: es un punto de inflexión de verdad, con tangente horizontal. Además, la forma factorizada

(x-1)^{3} + 1

lo hace evidente: es una cúbica estrictamente creciente trasladada, así que no puede tener extremos.

(Comprobación: $f'(x) = 3x^{2} - 6x + 3 = 3(x-1)^{2} \geq 0$ siempre, y solo se anula en $x=1$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Derivada nula que no es extremo relativo" es la forma elegante de decir inflexión con tangente horizontal, y aporta dos ecuaciones: $f'(1)=0$ y $f''(1)=0$ . Si solo usas la primera, te falta una ecuación y el problema queda indeterminado.

Resuelve en cascada empezando por la derivada más alta: $f''$ solo contiene $a$ , así que se despeja sin mezclar nada. Plantear el sistema $3\times 3$ completo funciona, pero es más lento y más propenso a errores.

Cierra el argumento comprobando que $f'''\neq 0$ (o factorizando $f' = 3(x-1)^{2} \geq 0$ ). Es lo que garantiza que en $x=1$ hay realmente inflexión y no un mínimo disfrazado.