Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2023 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 3 (bloque A). Calcula

\int_{6}^{12} \frac{1}{9 - x^{2}}\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\int_{6}^{12}\frac{dx}{9-x^{2}} = \frac{1}{6}\ln\frac{5}{9} = -\frac{1}{6}\ln\frac{9}{5} \approx -0{,}098\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Integral racional con denominador de segundo grado y raíces reales simples: el método es la descomposición en fracciones simples.

Antes de nada conviene comprobar que el intervalo de integración es válido: las raíces del denominador son

x = \pm 3

y ninguna está en

[6, 12]

, así que el integrando es continuo ahí y la integral definida tiene sentido.

Un detalle sobre el que hay que estar atento: en

[6,12]

se cumple

x^{2} > 9

, luego

9 - x^{2} < 0

y el integrando es negativo. El resultado tiene que salir negativo; si sale positivo, hay un error de signo.

Desarrollo

Factorización.

9 - x^{2} = (3 - x)(3 + x)

Descomposición en fracciones simples.

\frac{1}{(3-x)(3+x)} = \frac{A}{3-x} + \frac{B}{3+x} \;\Longrightarrow\; 1 = A(3+x) + B(3-x)

Con $x = 3$ : $\;1 = 6A \Longrightarrow A = \dfrac{1}{6}$
Con $x = -3$ : $\;1 = 6B \Longrightarrow B = \dfrac{1}{6}$

\frac{1}{9-x^{2}} = \frac{1}{6}\left(\frac{1}{3-x} + \frac{1}{3+x}\right)

Primitiva. Ojo con el signo de la primera: la derivada de

3-x

-1

\int \frac{dx}{3-x} = -\ln|3-x| + C, \qquad \int \frac{dx}{3+x} = \ln|3+x| + C

\int \frac{dx}{9-x^{2}} = \frac{1}{6}\Bigl(-\ln|3-x| + \ln|3+x|\Bigr) + C = \frac{1}{6}\ln\left|\frac{3+x}{3-x}\right| + C

Evaluación entre $6$ y $12$ .

\left[\frac{1}{6}\ln\left|\frac{3+x}{3-x}\right|\right]_{6}^{12} = \frac{1}{6}\ln\left|\frac{15}{-9}\right| - \frac{1}{6}\ln\left|\frac{9}{-3}\right| = \frac{1}{6}\ln\frac{5}{3} - \frac{1}{6}\ln 3

= \frac{1}{6}\left(\ln\frac{5}{3} - \ln 3\right) = \frac{1}{6}\ln\frac{5}{9}

Valor numérico.

\frac{1}{6}\ln\frac{5}{9} = \frac{1}{6}\,(-0{,}5878) \approx -0{,}0980

Es negativo, tal como habíamos anticipado.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los valores absolutos del logaritmo no son decorativos. En $[6,12]$ el factor $3 - x$ es negativo, así que $|3-x| = x-3$ . Si escribes $\ln(3-x)$ sin más, estás tomando el logaritmo de un número negativo y el resultado deja de tener sentido.

Y no confundas $\dfrac{1}{9-x^{2}}$ con $\dfrac{1}{9+x^{2}}$ : la segunda no se descompone en fracciones simples (no tiene raíces reales) y su primitiva es un arco tangente. Mira siempre el signo antes de decidir el método.