Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2015 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Sabiendo que

\lim_{x\to 0}\frac{a\,x^{2}+b\,x+1-\cos(x)}{\mathrm{sen}\,\bigl(x^{2}\bigr)}

es finito e igual a uno, calcula los valores de

a

b

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{L'Hôpital 1: } \lim_{x\to0}\frac{2ax+b+\mathrm{sen}\,x}{2x\cos(x^{2})}; \quad \text{denominador}\to0 \Rightarrow b = 0\;}

\boxed{\;\text{L'Hôpital 2: } \lim_{x\to0}\frac{2a+\cos x}{2\cos(x^{2})-4x^{2}\mathrm{sen}(x^{2})} = \frac{2a+1}{2}\;}

\boxed{\;\frac{2a+1}{2} = 1 \;\Longrightarrow\; a = \frac12, \qquad b = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El denominador

\mathrm{sen}(x^{2})\to 0

, y el numerador también (

1-\cos 0 = 0

): es una indeterminación

\frac00

para cualesquiera $a$ y $b$ . Así que la condición del enunciado no es "que el límite exista", sino que sea finito y valga

1

.

La clave está en el orden de los infinitésimos: el denominador es de orden

2

(porque

\mathrm{sen}(x^{2})\sim x^{2}

). Para que el cociente no se dispare, el numerador no puede tener término de grado $1$ : eso obliga a

b = 0

.

Se puede razonar con L'Hôpital (dos veces) o con infinitésimos equivalentes; aquí usaremos L'Hôpital, que es lo que se espera en el examen.

Desarrollo

Primera aplicación de L'Hôpital. Numerador y denominador tienden a

0

\lim_{x\to0}\frac{2a x+b+\mathrm{sen}\,x}{2x\cos\bigl(x^{2}\bigr)}

El denominador tiende a $0$ . Para que el límite sea finito, el numerador también debe tender a

0

2a\cdot0+b+\mathrm{sen}\,0 = b = 0 \;\Longrightarrow\; \boxed{b = 0}

(Si $b\neq0$ , el numerador tendería a $b\neq0$ y el cociente a $\infty$ : el límite no sería finito.)

Segunda aplicación de L'Hôpital. Con

b=0

, volvemos a tener

\frac00

\lim_{x\to0}\frac{2a x+\mathrm{sen}\,x}{2x\cos(x^{2})} = \lim_{x\to0}\frac{2a+\cos x}{2\cos(x^{2})-4x^{2}\,\mathrm{sen}(x^{2})}

Sustituyendo $x=0$ :

\frac{2a+1}{2-0} = \frac{2a+1}{2}

Imponiendo que valga $1$ :

\frac{2a+1}{2} = 1 \;\Longrightarrow\; 2a+1 = 2 \;\Longrightarrow\; a = \frac{1}{2}

a = \frac12, \qquad b = 0

Comprobación con infinitésimos. Cerca de

0

1-\cos x \approx \frac{x^{2}}{2} \qquad \mathrm{sen}\bigl(x^{2}\bigr) \approx x^{2}

\frac{\tfrac12 x^{2}+0\cdot x+\tfrac{x^{2}}{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}} = 1 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La condición decisiva es que el límite sea finito. Tras la primera derivada el denominador vale $0$ , así que el numerador está obligado a valer $0$ : de ahí sale $b=0$ sin necesidad de usar todavía el valor $1$ .

Aplica L'Hôpital solo mientras siga habiendo $\frac00$ . Derivar una tercera vez, cuando el denominador ya no tiende a cero, da un resultado incorrecto.

Con infinitésimos equivalentes el ejercicio es casi inmediato: $1-\cos x\sim\frac{x^{2}}{2}$ y $\mathrm{sen}(x^{2})\sim x^{2}$ , así que el numerador debe ser $\sim x^{2}$ y su coeficiente total debe valer $1$ : $a+\frac12 = 1$ . Úsalo al menos como comprobación.