Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2021 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 1 (bloque A). Sea la función derivable

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{ax + b}{x - 1} & \text{si } x \leq 0 \\[10pt] \ln(1 + x) & \text{si } x > 0 \end{cases}

(

\ln

denota la función logaritmo neperiano).

a) [1,5 puntos] Determina

a

b

.

b) [1 punto] Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad a = -1, \qquad b = 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \text{Tangente: } y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} + \ln 3; \qquad \text{Normal: } y = -3x + 6 + \ln 3\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El enunciado dice que

f

es derivable, y eso da dos condiciones en el punto de empalme

x = 0

, no una:

Continuidad: los dos trozos deben coincidir en $x=0$ (la derivabilidad implica continuidad).
Igualdad de las derivadas laterales.

Cada una aporta una ecuación, y con dos incógnitas el sistema queda determinado.

El apartado b) es independiente de todo lo anterior:

x = 2 > 0

cae en el segundo trozo, que no lleva parámetros.

Desarrollo

a) Continuidad en $x = 0$ .

Por la izquierda:

\;f(0) = \dfrac{a\cdot 0 + b}{0 - 1} = -b

.

Por la derecha:

\;\lim_{x\to 0^{+}}\ln(1+x) = \ln 1 = 0

-b = 0 \;\Longrightarrow\; b = 0

Derivabilidad en $x = 0$ . Derivada del primer trozo (regla del cociente):

\frac{d}{dx}\left(\frac{ax+b}{x-1}\right) = \frac{a\,(x-1) - (ax+b)}{(x-1)^{2}} = \frac{-a - b}{(x-1)^{2}}

f'(0^{-}) = \frac{-a-b}{(-1)^{2}} = -a - b

Derivada del segundo trozo:

\frac{d}{dx}\ln(1+x) = \frac{1}{1+x} \;\Longrightarrow\; f'(0^{+}) = \frac{1}{1} = 1

Igualando y usando

b = 0

-a - 0 = 1 \;\Longrightarrow\; a = -1

a = -1, \qquad b = 0

(Con esos valores, el primer trozo es $f(x) = \dfrac{-x}{x-1} = \dfrac{x}{1-x}$ , cuyo denominador no se anula en $(-\infty, 0]$ : la función está bien definida.)

b) Rectas en $x = 2$ . Ese punto está en el segundo trozo,

f(x) = \ln(1+x)

.

Ordenada:

f(2) = \ln 3 \approx 1{,}0986

Pendiente de la tangente:

f'(2) = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}

Recta tangente:

y - \ln 3 = \frac{1}{3}\,(x - 2) \;\Longrightarrow\; y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} + \ln 3

Recta normal. Su pendiente es

-\dfrac{1}{f'(2)} = -3

y - \ln 3 = -3\,(x - 2) \;\Longrightarrow\; y = -3x + 6 + \ln 3

(Control: el producto de las dos pendientes es $\frac{1}{3}\cdot(-3) = -1$ , como debe ser en rectas perpendiculares.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Función derivable" es un dato que vale por dos: continuidad y derivadas laterales iguales. Con una sola de las dos condiciones no puedes despejar los dos parámetros. Y el orden importa: la continuidad da $b$ directamente, y con $b$ ya conocido la derivabilidad da $a$ sin resolver ningún sistema.

Deja $\ln 3$ como está en la respuesta final; no lo aproximes a $1{,}0986$ salvo que te lo pidan. En la PAU se valora la expresión exacta, y además arrastrar decimales por las dos ecuaciones de las rectas solo añade ruido.