Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2020 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 1. Calcula

a

sabiendo que

\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{\ln(1 - x)} - \frac{a\,x - 1}{x}\right) = \frac{7}{2}

(

\ln

denota la función logaritmo neperiano).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{\ln(1-x)} - \frac{ax-1}{x}\right) = \frac{1}{2} - a\;}

\boxed{\;\frac{1}{2} - a = \frac{7}{2} \;\Longrightarrow\; a = -3\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una indeterminación

\infty - \infty

: el primer sumando se dispara porque

\ln(1-x) \to 0

, y el segundo porque tiene

x

en el denominador. Lo primero, como siempre, es unir las dos fracciones.

Después se desarrolla con Taylor. La clave está en el signo:

\ln(1-x)

empieza por

-x

, no por

x

. Ese menos es el que decide todo el ejercicio.

Desarrollo

Unificación.

\frac{1}{\ln(1-x)} - \frac{ax-1}{x} = \frac{x - \ln(1-x)\,(ax - 1)}{x\,\ln(1-x)}

Desarrollo de $\ln(1-x)$ . Sustituyendo

x

por

-x

en la serie del logaritmo:

\ln(1-x) = -x - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} - \cdots

Denominador.

x\,\ln(1-x) = x\left(-x - \frac{x^{2}}{2} - \cdots\right) = -x^{2} + O\!\left(x^{3}\right)

Es un infinitésimo de orden

2

, con coeficiente

-1

.

Numerador.

-\ln(1-x)\,(ax-1) = \left(x + \frac{x^{2}}{2} + \cdots\right)(ax - 1) = -x + \left(a - \frac{1}{2}\right)x^{2} + O\!\left(x^{3}\right)

y sumando la

x

inicial:

N(x) = x - x + \left(a - \frac{1}{2}\right)x^{2} + O\!\left(x^{3}\right) = \left(a - \frac{1}{2}\right)x^{2} + O\!\left(x^{3}\right)

Los términos de primer grado se cancelan solos, sin necesidad de imponer nada: el límite es finito para cualquier

a

.

El límite.

\lim_{x\to 0}\frac{\left(a - \frac{1}{2}\right)x^{2} + O(x^{3})}{-x^{2} + O(x^{3})} = -\left(a - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - a

Ecuación.

\frac{1}{2} - a = \frac{7}{2} \;\Longrightarrow\; a = \frac{1}{2} - \frac{7}{2} = -3

Comprobación numérica con

a = -3

: para

x = 10^{-3}

\frac{1}{\ln(0{,}999)} - \frac{-0{,}003 - 1}{0{,}001} \approx -999{,}5 + 1003 = 3{,}5001

muy cerca de

\frac{7}{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Ante un $\infty - \infty$ , une las fracciones antes de nada: hasta que no tienes un solo cociente no hay indeterminación que atacar con Taylor ni con L'Hôpital.

Y cuidado con el signo de $\ln(1-x) = -x - \frac{x^{2}}{2} - \cdots$ : todos los términos son negativos, al revés que en $\ln(1+x)$ . Si usas la serie equivocada, los términos de primer grado del numerador ya no se cancelan (quedan $2x$ ) y te parecerá que el límite es infinito para cualquier $a$ .