Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2024 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 2 (bloque A). Considera la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = \operatorname{arc\,tg}(x+\pi)

, donde

\operatorname{arc\,tg}

denota la función arcotangente.

a) [1,5 puntos] Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de

f

. Estudia y halla, si existen, los puntos de inflexión de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) [1 punto] Calcula

\displaystyle\lim_{x\to-\pi} \frac{\operatorname{arc\,tg}(x+\pi)}{\operatorname{sen}(x)}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) Convexa en } (-\infty,-\pi), \ \text{cóncava en } (-\pi,+\infty); \ \text{inflexión en } (-\pi,\ 0)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \lim_{x\to-\pi} \frac{\operatorname{arc\,tg}(x+\pi)}{\operatorname{sen}(x)} = -1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay que tener a mano la derivada del arcotangente:

\bigl(\operatorname{arc\,tg}\,u\bigr)' = \frac{u'}{1+u^{2}}

En a), al derivar otra vez aparece un cociente cuyo denominador es un cuadrado (siempre positivo), así que el signo de $f''$ lo decide solo el numerador, que es lineal. Un único cambio de signo: un único punto de inflexión.

En b) hay que fijarse en que

x\to-\pi

anula el numerador (

\operatorname{arc\,tg} 0 = 0

) y el denominador (

\operatorname{sen}(-\pi) = 0

): es una indeterminación

\frac{0}{0}

y basta una aplicación de L'Hôpital. El punto

-\pi

no es casual: es justo el que hace

x+\pi = 0

Desarrollo

a) Las dos derivadas. Con

u = x+\pi

u' = 1

f'(x) = \frac{1}{1+(x+\pi)^{2}}

(De paso: $f' > 0$ siempre, luego $f$ es creciente en todo $\mathbb{R}$ .)

Derivando de nuevo (regla de la cadena sobre

\bigl[1+(x+\pi)^{2}\bigr]^{-1}

f''(x) = -\frac{2(x+\pi)}{\bigl[1+(x+\pi)^{2}\bigr]^{2}}

Signo de $f''$ . El denominador es un cuadrado positivo, así que el signo es el de

-2(x+\pi)

\begin{array}{c|c|c} x & (-\infty,\ -\pi) & (-\pi,\ +\infty) \\ \hline x+\pi & - & + \\ \hline f''(x) & + & - \\ \hline f(x) & \text{convexa } (\cup) & \text{cóncava } (\cap) \end{array}

Es decir,

f

es convexa en

(-\infty,-\pi)

y cóncava en

(-\pi,+\infty)

.

Punto de inflexión. En

x=-\pi

la segunda derivada se anula y cambia de signo, luego sí hay inflexión. Su ordenada:

f(-\pi) = \operatorname{arc\,tg}(-\pi+\pi) = \operatorname{arc\,tg}(0) = 0

\text{Punto de inflexión: } (-\pi,\ 0)

b) El límite. Sustituyendo

x=-\pi

\operatorname{arc\,tg}(-\pi+\pi) = \operatorname{arc\,tg}(0) = 0, \qquad \operatorname{sen}(-\pi) = 0

Es una indeterminación

\frac{0}{0}

, y numerador y denominador son derivables, así que aplicamos L'Hôpital:

\lim_{x\to-\pi} \frac{\operatorname{arc\,tg}(x+\pi)}{\operatorname{sen}(x)} = \lim_{x\to-\pi} \frac{\dfrac{1}{1+(x+\pi)^{2}}}{\cos(x)} = \frac{\dfrac{1}{1+0}}{\cos(-\pi)} = \frac{1}{-1} = -1

(Como el nuevo cociente tiene límite finito, la aplicación de L'Hôpital es válida.)

Comprobación intuitiva. Cerca de

-\pi

\operatorname{arc\,tg}(x+\pi) \approx x+\pi

\operatorname{sen}(x) = \operatorname{sen}\bigl((x+\pi)-\pi\bigr) = -\operatorname{sen}(x+\pi) \approx -(x+\pi)

, luego el cociente tiende a

\dfrac{x+\pi}{-(x+\pi)} = -1

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al derivar el arcotangente no olvides el $u'$ de la cadena, y al derivar otra vez recuerda que estás derivando una potencia $-1$ : de ahí sale el signo menos que hace que $f''$ pase de positiva a negativa (y no al revés). Ese signo es el que decide qué intervalo es cóncavo y cuál convexo.

En b), comprueba la indeterminación antes de aplicar L'Hôpital y di explícitamente que $\operatorname{sen}(-\pi) = 0$ : es el tipo de detalle que los correctores buscan. Y ojo con $\cos(-\pi) = -1$ : el signo del resultado depende únicamente de eso.