Opción A · Ejercicio 2. La curva \;y = \dfrac12 x^{2}\; divide al rectángulo de vértices A = (0,0), B = (2,0), C = (2,1) y D = (0,1) en dos recintos. a) [0,75 puntos] Dibuja dichos recintos. b) [1,75 puntos] Halla el área de cada uno de ellos.

Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2009 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. La curva

\;y = \dfrac12 x^{2}\;

divide al rectángulo de vértices

A = (0,0)

B = (2,0)

C = (2,1)

D = (0,1)

en dos recintos.

a) [0,75 puntos] Dibuja dichos recintos.

b) [1,75 puntos] Halla el área de cada uno de ellos.

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Resultado

\boxed{\;\text{Área del rectángulo} = 2\times1 = 2; \quad \tfrac{x^{2}}{2} = 1 \Rightarrow x = \sqrt2\;}

\boxed{\;A_{1} = \int_{0}^{\sqrt2}\left[1-\frac{x^{2}}{2}\right]dx = \left[x-\frac{x^{3}}{6}\right]_{0}^{\sqrt2}\;}

\boxed{\;A_{1} = \sqrt2-\frac{\sqrt2}{3} = \frac{2\sqrt2}{3} \approx 0{,}94 \ \text{u}^{2}\;}

\boxed{\;A_{2} = 2-\frac{2\sqrt2}{3} \approx 1{,}06 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El detalle clave: la parábola no llega al vértice $C=(2,1)$ , porque en

x=2

vale

y = 2

, muy por encima del rectángulo. Sale por el lado superior:

\frac{x^{2}}{2} = 1 \;\Longrightarrow\; x = \sqrt2 \approx 1{,}414

Así que la curva entra por

(0,0)

y sale por

\bigl(\sqrt2,\,1\bigr)

.

Lo más cómodo es calcular el recinto superior (el que queda por encima de la parábola), que es una sola integral, y obtener el otro restando del área total

2\times1 = 2

Desarrollo

a) Los recintos. El rectángulo tiene base

2

y altura

1

, luego área total $2$ .

\frac{x^{2}}{2} = 1 \;\Longrightarrow\; x^{2} = 2 \;\Longrightarrow\; x = \sqrt2

La parábola va de

(0,0)

\bigl(\sqrt2,1\bigr)

, y a partir de ahí ya está fuera del rectángulo (por encima de

y=1

). Los dos recintos son:

$R_{1}$ : por encima de la curva (arriba a la izquierda), entre $x=0$ y $x=\sqrt2$ .
$R_{2}$ : por debajo de la curva (abajo a la derecha), el resto.

b) El recinto superior $R_{1}$ .

A_{1} = \int_{0}^{\sqrt2}\left[1-\frac{x^{2}}{2}\right]dx = \left[x-\frac{x^{3}}{6}\right]_{0}^{\sqrt2}

Con

\bigl(\sqrt2\bigr)^{3} = 2\sqrt2

A_{1} = \sqrt2-\frac{2\sqrt2}{6} = \sqrt2-\frac{\sqrt2}{3} = \frac{2\sqrt2}{3} \approx 0{,}943 \ \text{u}^{2}

El recinto inferior $R_{2}$ .

A_{2} = \underbrace{2}_{\text{rectángulo}}-A_{1} = 2-\frac{2\sqrt2}{3} \approx 1{,}057 \ \text{u}^{2}

Comprobación directa de $A_{2}$ . Es el área bajo la curva hasta

x=\sqrt2

, más la franja completa de

x=\sqrt2

x=2

(donde la curva ya está por encima del rectángulo):

\int_{0}^{\sqrt2}\frac{x^{2}}{2}dx+\bigl(2-\sqrt2\bigr)\cdot1 = \left[\frac{x^{3}}{6}\right]_{0}^{\sqrt2}+2-\sqrt2 = \frac{2\sqrt2}{6}+2-\sqrt2

= \frac{\sqrt2}{3}+2-\sqrt2 = 2-\frac{2\sqrt2}{3} \;\checkmark

A_{1}+A_{2} = 2 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Antes de integrar, comprueba por dónde sale la curva del rectángulo. Aquí no pasa por $(2,1)$ : cruza el lado superior en $x=\sqrt2$ , y ese es el límite de integración.

Calcula el recinto más sencillo (aquí el superior, una sola integral) y obtén el otro restando del área total. Ahorra partir la integral en dos tramos.

Comprueba que las dos áreas suman el área del rectángulo. Es la verificación natural de este tipo de problema y detecta cualquier error de límites.