Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2009 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Calcula el siguiente límite (

\ln

denota logaritmo neperiano):

\lim_{x\to1}\left(\frac{1}{\ln(x)}-\frac{2}{x^{2}-1}\right)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\frac{1}{\ln x}-\frac{2}{x^{2}-1} = \frac{\bigl(x^{2}-1\bigr)-2\ln x}{\ln x\,\bigl(x^{2}-1\bigr)} \;\to\; \tfrac00\;}

\boxed{\;\text{L'H (primera)}: \ \frac{2x-\tfrac2x}{x-\tfrac1x+2x\ln x} \;\to\; \tfrac00 \ \text{ otra vez}\;}

\boxed{\;\text{L'H (segunda)}: \ \frac{2+\tfrac{2}{x^{2}}}{3+\tfrac{1}{x^{2}}+2\ln x}\;}

\boxed{\;= \frac{2+2}{3+1+0} = 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos sumandos tienden a

\pm\infty

por separado: es una indeterminación

\infty-\infty

.

El camino estándar es poner denominador común para convertirla en

\frac00

y aplicar L'Hôpital (dos veces, porque la primera derivación vuelve a dar

\frac00

\frac{1}{\ln x}-\frac{2}{x^{2}-1} = \frac{\bigl(x^{2}-1\bigr)-2\ln x}{\ln x\,\bigl(x^{2}-1\bigr)}

Desarrollo

Denominador común.

\lim_{x\to1}\frac{\bigl(x^{2}-1\bigr)-2\ln x}{\ln x\,\bigl(x^{2}-1\bigr)}

En $x=1$ : numerador

= 0-2\ln1 = 0

; denominador

= 0\cdot0 = 0

. Indeterminación

\frac00

.

Primera aplicación de L'Hôpital.

N'(x) = 2x-\frac2x \qquad D'(x) = \frac1x\bigl(x^{2}-1\bigr)+\ln x\cdot2x = x-\frac1x+2x\ln x

\lim_{x\to1}\frac{2x-\dfrac2x}{x-\dfrac1x+2x\ln x}

En $x=1$ : numerador

= 2-2 = 0

; denominador

= 1-1+0 = 0

. Sigue siendo $\frac00$ .

Segunda aplicación.

N''(x) = 2+\frac{2}{x^{2}} \qquad D''(x) = 1+\frac{1}{x^{2}}+2\ln x+2

(La derivada de $2x\ln x$ es $2\ln x+2$ .)

\lim_{x\to1}\frac{2+\dfrac{2}{x^{2}}}{3+\dfrac{1}{x^{2}}+2\ln x}

Ahora sí, sustituyendo $x = 1$ :

\frac{2+2}{3+1+0} = \frac44 = 1

\lim_{x\to1}\left(\frac{1}{\ln x}-\frac{2}{x^{2}-1}\right) = 1

Comprobación numérica. En

x = 1{,}001

\frac{1}{\ln1{,}001}-\frac{2}{1{,}001^{2}-1} \approx 1000{,}50-999{,}50 = 1{,}00 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Ante $\infty-\infty$ con fracciones, pon denominador común: es lo que transforma la indeterminación en una del tipo $\frac00$ , donde L'Hôpital sí se puede aplicar.

Después de cada aplicación, vuelve a comprobar si sigue habiendo indeterminación. Aquí hacen falta dos; parar en la primera da un resultado sin sentido.

Cuidado al derivar el denominador: $\bigl(2x\ln x\bigr)' = 2\ln x+2$ (regla del producto). Ese $+2$ es el que hace que el denominador valga $4$ y no $2$ .