Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2011 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Sea

f\colon \left[\frac{1}{e},4\right]\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = \begin{cases} x-\ln(x)+a & \text{si } \dfrac{1}{e}\leq x\leq 2 \\[2mm] b\,x+1-\ln(2) & \text{si } 2 < x\leq 4\end{cases}

donde

\ln

denota la función logaritmo neperiano.

a) [1,25 puntos] Calcula los valores de

a

b

para que

f

sea derivable en el intervalo

\left(\frac{1}{e},4\right)

.

b) [1,25 puntos] Para

a = 0

b = \dfrac12

, halla los extremos absolutos de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Continuidad en } 2: \ 2-\ln2+a = 2b+1-\ln2 \;\Longrightarrow\; a = 2b-1\;}

\boxed{\;f'(2^{-}) = 1-\tfrac12 = \tfrac12 = f'(2^{+}) = b \;\Longrightarrow\; b = \tfrac12, \ a = 0\;}

\boxed{\;\text{b) } f'(x) = 1-\tfrac1x = 0 \Rightarrow x = 1; \text{ el segundo tramo crece}\;}

\boxed{\;\text{Mín. abs. } f(1) = 1; \quad \text{Máx. abs. } f(4) = 3-\ln2\approx2{,}31\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Derivable $\Rightarrow$ continua. Se imponen las dos condiciones en $x=2$ : primero la continuidad (una ecuación en $a$ y $b$ ) y luego la igualdad de derivadas laterales (que da $b$ directamente).
b) Los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado se buscan entre: los extremos del intervalo, los puntos críticos ( $f'=0$ ) y los puntos de empalme. Se evalúa $f$ en todos ellos y se comparan.

Desarrollo

a) Continuidad en $x = 2$ .

\lim_{x\to2^{-}}f(x) = 2-\ln2+a \qquad \lim_{x\to2^{+}}f(x) = 2b+1-\ln2 = f(2^{+})

2-\ln2+a = 2b+1-\ln2 \;\Longrightarrow\; a = 2b-1

Derivadas laterales.

f'(x) = \begin{cases} 1-\dfrac1x & \text{si } x<2 \\[2mm] b & \text{si } x>2\end{cases}

f'(2^{-}) = 1-\frac12 = \frac12 \qquad f'(2^{+}) = b

b = \frac12 \;\Longrightarrow\; a = 2\cdot\frac12-1 = 0

\boxed{a = 0, \qquad b = \frac12}

b) Extremos absolutos con $a=0$ , $b=\frac12$ . La función es

f(x) = \begin{cases} x-\ln x & \text{si } \frac1e\leq x\leq2 \\[2mm] \dfrac{x}{2}+1-\ln2 & \text{si } 2<x\leq4\end{cases}

Puntos críticos en el primer tramo.

f'(x) = 1-\frac1x = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1 \in\left[\tfrac1e,\,2\right]

(A la izquierda de $1$ , $f'<0$ ; a la derecha, $f'>0$ : es un mínimo.)

El segundo tramo es una recta de pendiente

\frac12>0

: creciente, sin puntos críticos.

Candidatos y valores.

f\!\left(\frac1e\right) = \frac1e-\ln\frac1e = \frac1e+1 \approx 1{,}368

f(1) = 1-\ln1 = 1

f(2) = 2-\ln2 \approx 1{,}307

f(4) = \frac42+1-\ln2 = 3-\ln2 \approx 2{,}307

Comparando:

1 < 1{,}307 < 1{,}368 < 2{,}307

\textbf{Mínimo absoluto: } f(1) = 1 \qquad \textbf{Máximo absoluto: } f(4) = 3-\ln2

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El orden importa: primero continuidad, después derivabilidad. Si impones solo la igualdad de derivadas te queda $b$ , pero pierdes la ecuación que da $a$ .

En b) no basta con los puntos críticos: hay que evaluar también en los extremos del intervalo $\frac1e$ y $4$ , y en el punto de empalme $x=2$ . El máximo absoluto está aquí justo en un extremo del dominio.

Cuidado con $\ln\frac1e = -1$ : al restarlo queda $f\!\left(\frac1e\right) = \frac1e+1$ , no $\frac1e-1$ . Es el error más caro del problema.