Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2023 · Junio

Enunciado

Ejercicio 3 (bloque A). Considera la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

, definida por

f(x) = x\,|x - 1|

. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de dicha función y su recta tangente en el punto de abscisa

x = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 \ \text{unidad cuadrada}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero es quitar el valor absoluto y escribir

f

a trozos, porque ni la derivada ni la integral se manejan bien con

|\cdot|

dentro.

La tangente se calcula en

x = 0

, que está en el trozo

x < 1

, así que ahí

f

es un polinomio corriente. Después hay que buscar todos los puntos de corte entre la curva y la recta: hay uno "escondido" en

x = 2

, al otro lado del punto anguloso, y olvidarlo cuesta la mitad del área.

Por último, el recinto queda partido en dos tramos por

x = 1

(donde cambia la definición de

f

), de modo que el área es una suma de dos integrales.

Desarrollo

Expresión a trozos. Como

|x-1| = 1-x

x < 1

|x-1| = x-1

x \geq 1

f(x) = \begin{cases} x - x^{2} & \text{si } x < 1 \\[4pt] x^{2} - x & \text{si } x \geq 1 \end{cases}

Recta tangente en $x = 0$ . En un entorno de

0

estamos en el primer trozo,

f(x) = x - x^{2}

, luego

f(0) = 0, \qquad f'(x) = 1 - 2x, \qquad f'(0) = 1

t \equiv y = 0 + 1\cdot(x - 0) \;\Longrightarrow\; \boxed{y = x}

Puntos de corte entre la curva y la tangente. Resolvemos

f(x) = x

en cada trozo:

Si $x < 1$ : $\;x - x^{2} = x \Longrightarrow -x^{2} = 0 \Longrightarrow x = 0$ (doble: la recta es tangente ahí).
Si $x \geq 1$ : $\;x^{2} - x = x \Longrightarrow x^{2} - 2x = 0 \Longrightarrow x(x-2) = 0 \Longrightarrow x = 2$ (el valor $x=0$ no pertenece a este trozo).

El recinto queda encerrado entre

x = 0

x = 2

.

Diferencia entre las dos funciones. Llamando

h(x) = f(x) - x

h(x) = \begin{cases} -x^{2} & \text{si } 0 \leq x < 1 \\[4pt] x^{2} - 2x & \text{si } 1 \leq x \leq 2 \end{cases}

[0,1]

se tiene

h(x) = -x^{2} \leq 0

: la recta va por encima de la curva. En

[1,2]

h(x) = x(x-2) \leq 0

: la recta sigue por encima. En los dos tramos la recta domina, pero como la expresión de

f

cambia hay que integrar por separado.

Cálculo del área.

A = \int_{0}^{1} \bigl(x - (x - x^{2})\bigr)\,dx + \int_{1}^{2} \bigl(x - (x^{2} - x)\bigr)\,dx = \int_{0}^{1} x^{2}\,dx + \int_{1}^{2} \bigl(2x - x^{2}\bigr)\,dx

Primera integral:

\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}

Segunda integral:

\int_{1}^{2} \bigl(2x - x^{2}\bigr)\,dx = \left[x^{2} - \frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2} = \left(4 - \frac{8}{3}\right) - \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}

A = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Dos trampas en un mismo ejercicio. La primera: al resolver $f(x) = x$ hay que hacerlo trozo a trozo, y la solución $x=2$ vive en el trozo de la derecha. Si solo miras $x - x^{2} = x$ te quedas con $x=0$ y concluyes, erróneamente, que no hay recinto.

La segunda: aunque la recta esté por encima en todo $[0,2]$ , no puedes integrar de golpe de $0$ a $2$ con una sola expresión, porque $f$ cambia de fórmula en $x=1$ . Parte siempre la integral en los puntos donde cambia la definición o donde se cruzan las gráficas.