Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2018 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Considera la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = e^{-2x}

.

a) [0,75 puntos] Determina el punto de la gráfica de

f

en el que la recta tangente es

y = -2e\,x

.

b) [0,5 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de

f

, la recta

y = -2e\,x

y el eje de ordenadas.

c) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad f'(x) = -2e^{-2x} = -2e \Rightarrow e^{-2x} = e \Rightarrow x = -\tfrac12: \quad \left(-\tfrac12,\, e\right)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \text{Curva arriba, recta abajo, entre } x = -\tfrac12 \text{ (tangencia) y } x = 0 \text{ (eje } OY)\;}

\boxed{\;\text{c)}\quad A = \int_{-1/2}^{0}\bigl(e^{-2x} + 2ex\bigr)dx = \left[-\tfrac{e^{-2x}}{2} + ex^{2}\right]_{-1/2}^{0} = \frac{e}{4} - \frac{1}{2} \approx 0{,}18\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) se conoce la pendiente de la tangente (

-2e

) y hay que localizar dónde se alcanza: se resuelve

f'(x) = -2e

. La ecuación es exponencial pero inmediata, porque los dos miembros se pueden escribir como potencias de

e

.

En b) y c), la recta es tangente a la curva en ese punto, así que solo se tocan ahí. El recinto queda cerrado por la izquierda por el punto de tangencia y por la derecha por el eje $OY$ (

x=0

), que es la tercera frontera que da el enunciado.

Desarrollo

a) Punto de tangencia.

f'(x) = -2\,e^{-2x}

-2e^{-2x} = -2e \;\Longrightarrow\; e^{-2x} = e^{1} \;\Longrightarrow\; -2x = 1 \;\Longrightarrow\; x = -\frac{1}{2}

f\left(-\frac12\right) = e^{-2\cdot(-1/2)} = e^{1} = e

\text{Punto de tangencia: } \left(-\frac{1}{2},\; e\right)

(Comprobación: la recta en $x=-\tfrac12$ vale $-2e\cdot\left(-\tfrac12\right) = e\;\checkmark$ . Efectivamente pasa por ese punto.)

b) El recinto. La exponencial

e^{-2x}

es decreciente y siempre positiva, con

f(0) = 1

. La recta

y = -2ex

pasa por el origen con pendiente negativa y es tangente a la curva en

\left(-\tfrac12, e\right)

; en cualquier otro punto queda por debajo.

El recinto está limitado:

arriba por la curva $y = e^{-2x}$ ,
abajo por la recta $y = -2ex$ ,
a la derecha por el eje de ordenadas $x = 0$ ,

y se cierra en punta por la izquierda, en el punto de tangencia

x = -\tfrac12

.

(En $x=0$ : la curva vale $1$ y la recta vale $0$ , luego la curva va por encima $\checkmark$ )

c) Área.

A = \int_{-1/2}^{0}\Bigl[e^{-2x} - \bigl(-2e\,x\bigr)\Bigr]dx = \int_{-1/2}^{0}\bigl(e^{-2x} + 2e\,x\bigr)dx

= \left[-\frac{e^{-2x}}{2} + e\,x^{2}\right]_{-1/2}^{0}

En $x = 0$ :

-\frac{e^{0}}{2} + 0 = -\frac12

En $x = -\tfrac12$ :

-\frac{e^{1}}{2} + e\cdot\frac14 = -\frac{e}{2} + \frac{e}{4} = -\frac{e}{4}

A = -\frac12 - \left(-\frac{e}{4}\right) = \frac{e}{4} - \frac{1}{2} \approx 0{,}680 - 0{,}5 = 0{,}18 \ \text{unidades cuadradas}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El límite izquierdo del recinto no te lo dan explícitamente: es el punto de tangencia que has calculado en a). El derecho sí, es el eje $OY$ ( $x=0$ ). Identificar bien las tres fronteras es la mitad del apartado c).

No confundas la $e$ de la recta con una variable: $-2e$ es un número ( $\approx -5{,}44$ ), la pendiente. Al integrar $2ex$ sale $ex^{2}$ , con la $e$ como constante multiplicativa.

Al integrar $e^{-2x}$ aparece el factor $-\tfrac12$ : $\int e^{-2x}dx = -\tfrac{e^{-2x}}{2}$ . Es el error más común del ejercicio, y aquí determina por completo el valor del área.