Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2016 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Sea

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

la función definida por

f(x) = \lvert x^{2}-4\rvert

.

a) [1,5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = -1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = x^{2}-4 \text{ si } \lvert x\rvert\geq 2; \quad f(x) = 4-x^{2} \text{ si } \lvert x\rvert<2\;}

\boxed{\;\text{a) Crece en } (-2,0)\cup(2,\infty); \ \text{decrece en } (-\infty,-2)\cup(0,2)\;}

\boxed{\;\text{Mínimos } (-2,0) \text{ y } (2,0) \ (\text{picos, sin derivada}); \quad \text{Máximo } (0,4)\;}

\boxed{\;\text{b) } f(-1)=3,\ f'(-1)=2: \quad \text{tangente } y = 2x+5; \quad \text{normal } y = -\tfrac{x}{2}+\tfrac52\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Con un valor absoluto lo primero es siempre quitarlo a trozos: hay que ver dónde

x^{2}-4

es positivo y dónde negativo.

x^{2}-4 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \pm 2

Eso parte

\mathbb{R}

en tres tramos, y en cada uno

f

es un polinomio distinto. En

x=\pm 2

la función no es derivable (hay picos), pero sí continua: son candidatos a extremo aunque la derivada no se anule.

Para b) basta con identificar en qué tramo cae

x=-1

(el central) y derivar ahí.

Desarrollo

a) La función a trozos.

f(x) = \begin{cases} x^{2}-4 & \text{si } x \leq -2 \\ 4-x^{2} & \text{si } -2 < x < 2 \\ x^{2}-4 & \text{si } x \geq 2\end{cases}

La derivada.

f'(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } x < -2 \\ -2x & \text{si } -2 < x < 2 \\ 2x & \text{si } x > 2\end{cases}

(En $x = -2$ y en $x = 2$ la derivada por la izquierda vale $-4$ y por la derecha $4$ : no coinciden, luego $f$ no es derivable ahí.)

Signo de $f'$ en cada tramo.

x<-2: \; f' = 2x < 0 \;\Rightarrow\; \textbf{decrece}

-2<x<0: \; f' = -2x > 0 \;\Rightarrow\; \textbf{crece}

0<x<2: \; f' = -2x < 0 \;\Rightarrow\; \textbf{decrece}

x>2: \; f' = 2x > 0 \;\Rightarrow\; \textbf{crece}

\text{Crece en } (-2,0)\cup(2,+\infty) \qquad \text{Decrece en } (-\infty,-2)\cup(0,2)

Extremos relativos.

$x = -2$ : pasa de decrecer a crecer $\Rightarrow$ mínimo relativo, $f(-2) = 0$ .
$x = 0$ : pasa de crecer a decrecer $\Rightarrow$ máximo relativo, $f(0) = 4$ .
$x = 2$ : pasa de decrecer a crecer $\Rightarrow$ mínimo relativo, $f(2) = 0$ .

\text{Mínimos en } (-2,0) \text{ y } (2,0); \qquad \text{Máximo en } (0,4)

(Los mínimos son absolutos, porque $f\geq 0$ siempre; el máximo es solo relativo, ya que $f\to+\infty$ .)

b) Tangente y normal en $x = -1$ . El punto

x=-1

está en el tramo central, donde

f(x) = 4-x^{2}

f(-1) = 4-1 = 3 \qquad f'(x) = -2x \;\Longrightarrow\; f'(-1) = 2

Recta tangente (pendiente

m = 2

por

(-1,3)

y - 3 = 2\,(x+1) \;\Longrightarrow\; y = 2x+5

Recta normal (pendiente

-\dfrac1m = -\dfrac12

por el mismo punto):

y - 3 = -\frac{1}{2}\,(x+1) \;\Longrightarrow\; y = -\frac{x}{2} + \frac{5}{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Quita el valor absoluto antes de derivar. Derivar $\lvert x^{2}-4\rvert$ "de golpe" es la fuente de todos los errores; escribir la función a trozos cuesta dos líneas y lo resuelve todo.

En $x=\pm 2$ no hay derivada, pero sí hay extremo: son picos. Buscar extremos solo donde $f'=0$ te haría perder los dos mínimos, que son la parte más valiosa del apartado.

Para b), lo primero es ver en qué tramo cae $x=-1$ . Está en $(-2,2)$ , así que se deriva $4-x^{2}$ , no $x^{2}-4$ : el signo de la pendiente cambia y con él las dos rectas.