Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2016 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula el valor de

a > 0

para el que se verifica

\int_{0}^{a}\frac{x}{2+x^{2}}\,dx = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\int\frac{x\,dx}{2+x^{2}} = \frac12\ln\bigl(2+x^{2}\bigr)\;}

\boxed{\;\frac12\ln\!\left(\frac{2+a^{2}}{2}\right) = 1 \;\Longrightarrow\; \frac{2+a^{2}}{2} = e^{2}\;}

\boxed{\;a = \sqrt{2e^{2}-2} \approx 3{,}58\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La integral es casi inmediata: el numerador

x

es, salvo el factor

2

, la derivada del denominador

2+x^{2}

. Por tanto

\int\frac{x}{2+x^{2}}\,dx = \frac12\ln\bigl(2+x^{2}\bigr)

(sin valor absoluto, porque $2+x^{2} > 0$ siempre).

Al imponer que la integral valga

1

queda una ecuación logarítmica, que se resuelve exponenciando.

Desarrollo

La primitiva. Ajustando la constante para reconstruir la derivada del denominador:

\int\frac{x}{2+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{2x}{2+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl(2+x^{2}\bigr)

Evaluación.

\int_{0}^{a}\frac{x}{2+x^{2}}\,dx = \left[\frac12\ln\bigl(2+x^{2}\bigr)\right]_{0}^{a} = \frac12\ln\bigl(2+a^{2}\bigr) - \frac12\ln 2

Agrupando los logaritmos:

= \frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{2+a^{2}}{2}\right)

La ecuación.

\frac12\ln\!\left(\frac{2+a^{2}}{2}\right) = 1 \;\Longrightarrow\; \ln\!\left(\frac{2+a^{2}}{2}\right) = 2

Exponenciando.

\frac{2+a^{2}}{2} = e^{2} \;\Longrightarrow\; 2 + a^{2} = 2e^{2} \;\Longrightarrow\; a^{2} = 2e^{2} - 2

a = \sqrt{2e^{2}-2} = \sqrt{2}\,\sqrt{e^{2}-1} \approx 3{,}58

(se toma la raíz positiva, como pide el enunciado).

Comprobación numérica. Con

a \approx 3{,}575

\frac12\ln\!\left(\frac{2 + 12{,}78}{2}\right) = \frac12\ln(7{,}389) = \frac12\cdot 2 = 1 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Reconoce el patrón $\displaystyle\int\frac{g'}{g}\,dx = \ln|g|$ : aquí el numerador es casi la derivada del denominador, y solo hay que ajustar el factor $\tfrac12$ . No es un arco tangente ni hace falta ningún cambio de variable.

Como $2+x^{2} > 0$ para todo $x$ , el valor absoluto del logaritmo se puede quitar. Decirlo demuestra que no se ha escrito por inercia.

Agrupa los dos logaritmos en uno antes de exponenciar: pasar de $\tfrac12\ln(2+a^{2}) - \tfrac12\ln 2 = 1$ a $\ln\frac{2+a^{2}}{2} = 2$ evita errores con las constantes. Y no olvides que exponenciar significa aplicar $e^{(\cdot)}$ a los dos lados.