Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2013 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. Sea

f

la función definida por

f(x) = \dfrac{x}{\ln(x)}

para

x>0

x\neq1

(donde

\ln

denota el logaritmo neperiano).

a) [1,25 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de

f

.

b) [1,25 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = e

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\lim_{x\to1^{-}}f = -\infty, \quad \lim_{x\to1^{+}}f = +\infty \;\Longrightarrow\; \text{A.V. } x = 1\;}

\boxed{\;\lim_{x\to0^{+}}f = 0; \qquad \lim_{x\to+\infty}f = +\infty \ \text{ con } \ m = \lim\frac{f}{x} = 0 \Rightarrow \text{sin oblicua}\;}

\boxed{\;f'(x) = \frac{\ln x-1}{(\ln x)^{2}}; \qquad f(e) = e, \quad f'(e) = 0\;}

\boxed{\;\text{Tangente: } y = e \ (\text{horizontal}); \qquad \text{Normal: } x = e \ (\text{vertical})\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) El dominio es $(0,1)\cup(1,+\infty)$ , así que hay tres bordes: $x\to0^{+}$ , $x\to1$ (por los dos lados) y $x\to+\infty$ . En $x=1$ el denominador se anula y el numerador no: candidato claro a asíntota vertical.

+\infty

el cociente tiende a

\infty

; hay que comprobar si existe oblicua calculando

\lim\frac{f(x)}{x}

b) Derivada del cociente. Un detalle bonito: en $x=e$ la derivada se anula, así que la tangente es horizontal y la normal, vertical.

Desarrollo

a) En $x\to1$ . El numerador tiende a

1\neq0

y el denominador a

0

, con signos distintos a cada lado (

\ln x<0

x<1

\lim_{x\to1^{-}}\frac{x}{\ln x} = \frac{1}{0^{-}} = -\infty \qquad \lim_{x\to1^{+}}\frac{x}{\ln x} = \frac{1}{0^{+}} = +\infty

\textbf{Asíntota vertical: } x = 1

En $x\to0^{+}$ . Numerador

\to0

y denominador

\to-\infty

\lim_{x\to0^{+}}\frac{x}{\ln x} = \frac{0}{-\infty} = 0

(No hay asíntota: la gráfica simplemente llega al origen. Y $x=0$ no está en el dominio.)

En $x\to+\infty$ .

\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\ln x} \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1/x} = \lim_{x\to+\infty}x = +\infty

No hay horizontal. ¿Oblicua?

m = \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\ln x} = 0

Al ser

m = 0

no hay asíntota oblicua (una oblicua necesita pendiente no nula): la rama es parabólica.

\textbf{Única asíntota: la vertical } x = 1

b) La derivada.

f'(x) = \frac{1\cdot\ln x-x\cdot\frac1x}{\bigl(\ln x\bigr)^{2}} = \frac{\ln x-1}{\bigl(\ln x\bigr)^{2}}

En $x = e$ , con

\ln e = 1

f(e) = \frac{e}{1} = e \qquad f'(e) = \frac{1-1}{1} = 0

Recta tangente (pendiente

0

por

(e,e)

): es horizontal.

y = e

Recta normal. Perpendicular a una horizontal

\Rightarrow

es vertical (su pendiente sería

-\frac10

, que no existe):

x = e

(De paso: $f'(x) = 0$ solo en $x = e$ , y ahí $f'$ pasa de negativa a positiva, así que $(e,e)$ es un mínimo relativo de la rama $x>1$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En $x=1$ hay que calcular los dos límites laterales: $\ln x$ cambia de signo, así que la función se va a $-\infty$ por la izquierda y a $+\infty$ por la derecha.

Si $m = \lim\frac{f(x)}{x} = 0$ , no hay asíntota oblicua: una oblicua tiene pendiente no nula. Decir que "la oblicua es $y = n$ " es un error; lo correcto es hablar de rama parabólica.

Cuando $f'(x_{0}) = 0$ , la tangente es horizontal ( $y = f(x_{0})$ ) y la normal, vertical ( $x = x_{0}$ ). No intentes aplicar $-\frac{1}{f'}$ : no está definido.